线性代数：把多个约束一起解

买2支笔和1本本子共7元，买1支笔和1本本子共5元。设笔价为x、本子价为y，两句话写成 $2x+y=7$、$x+y=5$。

两条式子反复出现同样的x、y。可以把它们的系数按顺序排成数表：第一行是2、1，第二行是1、1。第一列始终是x的系数，第二列始终是y的系数。

这样有固定行列位置的数表叫矩阵。先学会读懂每个位置，再用它更整齐地记录和计算方程组。

先把矩阵当作一张有固定行列位置的数表。方程 $2x+y=3$ 与 $x-y=0$ 共用同一批未知数，反复写x、y很占地方，所以把系数依次排成两行：第一行2、1，第二行1、−1。每一行代表一个方程，每一列对应同一个未知数。

m行n列叫m×n矩阵，元素 $a_{ij}$ 是第i行、第j列，先行后列。比如2×3表示两行、每行三个位置，并不是一个普通数6。两个矩阵相等要尺寸相同，而且每一个对应位置都相同。

把系数表记A，未知数排成列向量 $\boldsymbol{x}$，右端常数排成列向量b，就可简写 $A\boldsymbol{x}=b$。粗体x代表整列未知数，不是单个x；矩阵乘法下一节解释。把常数列附到系数表右侧，写 $(A\mid b)$，叫增广矩阵，竖线只用于分开系数与常数。

同尺寸矩阵相加，就是对应格子相加；数乘cA，是每一格都乘c。例如一张表整体记录两倍的量，每个位置都变两倍。不同尺寸没有一一对应的位置，不能直接相加。

行列数相同叫方阵；主对角线是从左上到右下的位置。只有对角线可非零的叫对角矩阵；单位矩阵I在主对角全是1、其余全0，后面会看到它在矩阵乘法里像数字1。零矩阵O则每格都为0，不是每格都为1。

转置 $A^T$ 把第i行搬成第i列，尺寸m×n变n×m。若方阵转置后完全不变，叫对称矩阵。这里只是更换行列记录方式，不是把每个数取倒数。

方程2x+y=3、x-y=0对应 $A=\begin{pmatrix}2&1\\1&-1\end{pmatrix}$，x向量为(x,y)ᵀ，b=(3,0)ᵀ。矩阵第一行仍表达第一个方程，语言压缩但内容未变。

先独立作答；卡住时看提示，完成后再对照解析。

一个点的坐标是 $(1,2)$。先把横坐标乘2，得到 $(2,2)$；再把横、纵坐标交换，仍是 $(2,2)$。

如果改成先交换，得到 $(2,1)$，再把横坐标乘2，就得到 $(4,1)$。两次操作相同，先后顺序不同，最终位置就不同。

矩阵可以记录这样的坐标变化。矩阵乘法把两次变化合在一起，所以乘法顺序也会影响答案。下面从具体的行列计算说明这个规则。

矩阵乘法首先是在组合两次规则。向量先经过B得到中间结果，再经过A，最终是A(Bx)；为了把两步合成一步，定义矩阵AB，使 $(AB)x=A(Bx)$。因此右边的B先作用，左边的A后作用，顺序有实际含义。

尺寸先检查：A为m×n，B为n×p，中间的n必须相同，AB才有定义，结果m×p。计算第i行第j列，用A第i行与B第j列对应相乘再相加：$(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj}$。编号k跑遍内部配对位置，不是只乘同一格。

例如一行(1,2)乘一列 $(3,4)^T$，得到 $1\cdot3+2\cdot4=11$。对结果的每一格都重复这个过程；做完可检查输出行列数，防止漏项。

通常AB≠BA，有时AB有定义而BA甚至没有。不能从AB=AC直接消去A，因为A可能把不同输入压成同一输出；只有额外条件允许时才能消去。例如有逆矩阵时可在左边同时乘A的逆，后面会专门学习。AB=O也不保证A或B为O。

结合律与分配律仍成立，但不能偷换顺序。$(A+B)^2=A^2+AB+BA+B^2$，只有AB=BA才合并中间项。转置会颠倒操作次序：$(AB)^T=B^TA^T$。方阵幂Aⁿ是重复矩阵相乘，不是每个格子各自求幂。

分块只是把数表分成小矩形来算；分块左边每块的列数与右边相乘块的行数相等时，也按行乘列。把一块视作一个单位可减少书写，但块与块仍是矩阵乘法，不能因此获得交换律。

二维变换先u=Bx，再y=Au；把u每个分量代进y，xⱼ的系数变成Σaᵢₖbₖⱼ，这正是行乘列。矩阵乘法因此与连续两次变换一致。

先独立作答；卡住时看提示，完成后再对照解析。

一支笔加一本本子共5元，两支笔加同一本本子共7元。第二次比第一次只多买一支笔，也只多付2元，所以笔价就是2元，本子价是3元。

用方程写，就是把 $2x+y=7$ 减去 $x+y=5$，得到 $x=2$。两式中的y被抵消了，原来两个未知数的问题先变成了一个未知数的问题。

这就是消元。把同样的加减操作记到矩阵的行上，就能有步骤地处理更多方程。

消元就是换一种等价说法，让方程逐渐容易读。例如两式x+y=3、2x−y=0，用第二式减去第一式的两倍，可得到−3y=−6，先确定y，再回到第一式求x。每次都用等价的方程替换原方程，因此解不变；消去的是某个方程中的未知数项。

允许三种初等行变换：交换两行；一行乘非零常数；一行加另一行的倍数。它们都能逆向恢复，因此不改变方程组解集。一行乘0则会丢掉一个约束，不能恢复，不属于允许操作。

对增广矩阵操作时整行一起变，右端常数也必须参加，不能只改左边系数。把全为0的行放在底部，让各非零行最左边的非零数逐行向右错开，就得到行阶梯形，形状像台阶。每个非零行最左边的非零数叫主元；有几个主元，就说明整理后留下几条不能互相替代的方程，这个数量叫秩。

行最简形更进一步：主元变成1，所在列其他位置全变0。主元所在列对应的未知数，可以用其他未知数表示；那些可以自行取值、再由它们确定其余值的未知数，叫自由变量。阶梯形通常已经够回代求解，不必每题都多算到最简。

把同一次行操作施加给单位矩阵I，得到初等矩阵E；左乘EA就会给A做同一行操作。右乘初等矩阵对应列操作，但列原本表示未知数的位置，交换列就相当于交换变量顺序。求解时若不跟踪这种变化，最后会把答案读错。

每一步写明如 $R_2\leftarrow R_2-2R_1$，R表示行；这样能知道用的是更新前还是更新后的行，也方便逆查错误。

方程E₂替换为E₂-kE₁后，可通过新E₂+kE₁还原旧E₂，所以新旧方程互相推出，解集相同。乘行的系数必须非零，否则无法还原。

先独立作答；卡住时看提示，完成后再对照解析。

把边长1的正方形横向拉成原来的2倍、纵向拉成3倍，面积就从1变成6。若把所有点都压到一条直线上，面积则变成0。

一个二维线性变换对面积的影响，可以用一个数来记录。这个数叫行列式：绝对值表示面积倍率，正负还记录方向是否翻转。

矩阵是一整张数表，行列式是由方阵算出的一个数。下面从二阶计算开始，看这个数怎样帮助判断变换和方程组。

矩阵是一张数表，行列式则把一个方阵对应成一个数，记det A或|A|。竖线在这里表示行列式，不是给每个元素取绝对值。二维时，它描述变换后有方向的面积相对原面积放大多少；变成一条线时面积塌为0。

二阶 $A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ 的行列式为ad−bc。两项分别从每行、每列各取一个数，顺序不同带不同符号。n阶定义也对每列下标的排列求和：$|A|=\sum_{j_1\cdots j_n}(-1)^\tau a_{1j_1}\cdots a_{nj_n}$。τ是逆序数，即前面比后面大的数对个数；偶数次取正，奇数次取负。

定义是理解依据，实算大矩阵不必列出所有排列。用性质制造0更省事：交换两行使行列式变号；某一行乘k使值乘k；某一行加另一行的倍数不改值。列也有相应性质，每一步都要记录是否改变结果。

三角矩阵的行列式是主对角元素乘积，因为其他有效乘积都遇到0。两行相同或成倍时值为0。转置不改行列式，且 $|AB|=|A||B|$。整个n阶矩阵乘k等于n行各乘k，因此 $|kA|=k^n|A|$，不能只乘一次。

行列式非零表示方阵没有把某个非零方向压掉，因此可逆；值为0则不可逆，具体逆矩阵下一节讲。非方阵没有本课通常意义下的行列式，但可以抽取方形小块算子式，不要将“没有行列式”误说成矩阵没有用。

二阶排列12无逆序给ad，21有一个逆序给-bc，所以ad-bc。若两行相同，交换它们矩阵不变却让行列式变号，因此行列式只能为0。

先独立作答；卡住时看提示，完成后再对照解析。

先把一个数乘2，再除以2，就能找回原来的数。二维坐标也可以这样：若先把横坐标乘2、纵坐标乘3，再分别除以2、除以3，就回到原位置。

原操作用矩阵 $A=\begin{pmatrix}2&0\\0&3\end{pmatrix}$ 记录，撤销它的操作用 $\begin{pmatrix}\frac12&0\\0&\frac13\end{pmatrix}$ 记录。后一个矩阵叫A的逆矩阵。

但不是每种变化都能撤销：若先把整个平面压成一条线，就丢失了原来某个方向的位置。下面学习怎样判断能否求逆，以及一般矩阵怎样求逆。

逆矩阵的目标是撤销一整次线性变换。若方阵A有矩阵B使AB=BA=I，就记B为 $A^{-1}$。它不是逐个把元素取倒数；例如矩阵里含0也可能可逆，只要整体变换没有丢失信息。

先学怎样从小块计算行列式。删去第i行第j列，剩下小方阵的行列式叫余子式 $M_{ij}$；再乘符号 $(-1)^{i+j}$ 得代数余子式 $C_{ij}$。符号排列像棋盘，从左上角的正号开始，隔一格变号。

按第i行展开就是 $|A|=\sum_j a_{ij}C_{ij}$：该行每个元素乘自己的代数余子式后相加。选0多的一行能少算很多项；零元素对应项不用计算。按列展开也成立。

把所有Cᵢⱼ排成矩阵后再转置，得到伴随矩阵A*，满足 $AA^*=A^*A=|A|I$。如果|A|≠0，就能除以这个普通数，得到 $A^{-1}=\frac{A^*}{|A|}$。先变符号、再转置，两步缺一不可。

实算较大的逆常用消元：把单位矩阵附在A右边，对 $(A\mid I)$ 整行操作，若左边变成I，右边就是A的逆。理由是左边接受的所有可逆操作合起来恰好撤销A，右边记录了这些操作自身。如果左边无法变成I，就不可逆。

撤销两步要倒序，所以 $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$；也有 $(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T$。做完最有效的检验是乘回原矩阵，检查是否得到I。

AA*的对角元素是同一行按余子式展开，等于|A|；非对角元素相当于把某行换成另一行后展开，因两行相同而为0。若|A|≠0，两边除该标量就得到逆。

先独立作答；卡住时看提示，完成后再对照解析。

方程 $2x=6$ 可以两边同除以2，得到x=3。矩阵方程 $AX=B$ 也想把已知的A消掉，但不能随意写成“B除以A”。

如果A有逆矩阵，就在两边左边同乘 $A^{-1}$，因为 $A^{-1}A=I$，得到X。若原方程写成 $XA=B$，就需要在右边乘逆矩阵，才能让A与它的逆相邻。

本节先把这个顺序弄清，再介绍用行列式直接写出某个未知数的方法。

一元方程2x=6，可以在两边同除以2；矩阵方程AX=B中没有直接“除以A”的运算。只有A可逆时，才可在两边左乘 $A^{-1}$，得到X=A⁻¹B。若A在未知矩阵右边，如XA=B，则要右乘，得到X=BA⁻¹。乘法顺序属于等式内容，不能交换。

方阵系数的线性方程组Ax=b，若|A|≠0，就有唯一解 $x=A^{-1}b$。克拉默法则进一步把每个未知数写成行列式之比：$x_j=\frac{|A_j|}{|A|}$，Aⱼ是把A第j列替换为常数列b得到的矩阵。

为什么替换列？系数矩阵的第j列始终与第j个未知数配对，解的各分量加权组合这些列得到b。行列式的单列线性与重复列为0，使替换列后的行列式只留下xⱼ倍的原行列式；下方推导把这一步展开。

操作时先算分母D=|A|确认非零，再按未知数顺序分别替换一列算Dⱼ，最后求比值并代回。不要替换成一行，也不要同时把所有列都换掉。小规模和理论题适合这方法，方程多时消元通常更短。

若|A|=0，只能说逆与这条商公式不可用，不能据此判断无解。此时可能约束重复而有很多解，也可能约束矛盾而无解，后面要比较系数矩阵和增广矩阵的秩。更一般AXB=C，在A、B可逆且各次矩阵乘法的行列数匹配时，在左边乘A的逆、在右边乘B的逆，得到 $X=A^{-1}CB^{-1}$。

把b=Σxⱼαⱼ代入Aⱼ的第j列，按该列线性展开；除了xⱼ|A|之外，其他项含重复列而为0，因此|Aⱼ|=xⱼ|A|，得到克拉默公式。

先独立作答；卡住时看提示，完成后再对照解析。

平面上两个动作分别是“向右1格”和“向上1格”，记为 $(1,0)$ 和 $(0,1)$。向右做2次、向上做3次，总移动就是 $(2,3)$，写成 $2(1,0)+3(0,1)=(2,3)$。

把向量乘一个数再相加，这种做法叫线性组合。系数若为负数，就表示往相反方向；若为0，就表示不用这一项。

现在把两个动作改成 $(1,2)$ 和 $(2,4)$。第二个只是第一个做两次，并没有提供新的移动方向。下面用这个区别理解“线性相关”和“线性无关”。

向量可以先看作有固定顺序的一组数，例如(2,3)表示两个坐标。线性组合允许把若干向量分别乘实数，再相加：$k_1\alpha_1+\cdots+k_m\alpha_m$。系数可以负、可以0，不限于“正份数配料”，几何上也允许反方向。

“β能否由这一组表示”就是问能否找到一组系数，使向量等式成立。例如 $(2,3)=2(1,0)+3(0,1)$。把原向量按列排成A，系数排成列k，这个问题就成为Ak=β有没有解，能直接用已学消元处理。

线性相关在问“这组方向是否有冗余”。若不全为0的系数也能组合出零向量，就能用并非全为0的系数组合出零向量，叫线性相关；若只有所有系数为0这一种办法，叫无关。必须强调“不全为0”，因为全零系数对任何向量组都能拼出0，无法区分。

例如 $(1,2)$ 与 $(2,4)$ 虽然数值不同，后者只是前者两倍，关系 $2(1,2)-(2,4)=0$ 表明第二个方向没有增加新信息。反之 $(1,0)$ 与 $(0,1)$，横纵分量要同时为0，只能两个系数都0，因此无关。

若某关系中kⱼ≠0，就可移项并除以kⱼ，把αⱼ用其他向量写出来，所以相关等价于“至少一个向量能由其余表示”。含零向量必相关；无关组抽走几个仍无关；相关组再添向量也消不掉已有关系。m>n个n维向量必相关，可由n条齐次方程却有m个未知系数理解。

求线性表示时，右端是给定的目标向量β，要求找到表示系数；判断线性相关时，右端是零向量，要求判断是否存在不全为0的系数。

若某kⱼ≠0，把kⱼαⱼ移项并除以kⱼ，便得到αⱼ由其他向量线性表示。反过来，已有表示式移到一边就是一个非零系数组合等于0。

先独立作答；卡住时看提示，完成后再对照解析。

已有“向右1格”和“向上1格”两个动作，再增加“向右1格、向上1格”这个动作，能到达的新位置会增加吗？不会，因为第三个动作可以由前两个相加得到。

所以三个向量 $(1,0)$、$(0,1)$、$(1,1)$ 中，前两个已经够用。它们自己不能互相替代，又能组合出原来全部向量。

这样挑出的一组叫极大无关组。组中向量的个数叫秩；本例的秩是2。下面学习向量更多时怎样系统地找出它们。

一组向量很多，不代表有同样多独立方向。例如 $(1,0)$、$(0,1)$、$(1,1)$ 三个向量里，第三个是前两个的和，保留前两个就足够拼出原组的所有向量。

这样一组“自身无关、又能表示原组全部向量”的成员，叫原向量组的极大无关组；成员数量叫秩。它未必唯一，上例也可选 $(1,0)$ 与 $(1,1)$，但任何选择的数量都相同。极大指再添原组中的向量就会冗余，不是每个向量数值最大。

两组向量能互相表示，称等价，也就是能拼出的全部目标相同。同秩只说明独立方向数量相同，不说明方向相同：只含 $(1,0)$ 与只含 $(0,1)$ 的两组秩都1，却分别只能沿水平线与竖线走，不能互相表示。

矩阵的列秩是列向量组的秩，行秩是行向量组的秩，二者相等，也等于非零子式的最高阶数。子式是选若干行、同样多列形成方阵后算行列式。例如二阶行列式为0但存在非零元素，一阶子式非零，秩可能为1而不是0。

实际找原列的极大无关组，先对矩阵做行消元，数主元得到秩，记下主元出现在哪些列，再返回原矩阵取对应列。行变换保留列间的系数关系，却通常改变了每一列本身；拿变换后的列当原组成员是不对的。

秩也帮助估计计算结果：初等变换和乘可逆矩阵不改秩；$r(AB)\le\min(r(A),r(B))$，因为连续变换不能凭空恢复已经丢掉的独立方向；同尺寸时 $r(A+B)\le r(A)+r(B)$，但一般不是等号。

行变换等于左乘可逆矩阵E，A k=0与EA k=0有同样系数关系，因此列之间的依赖关系保留。可据变换后的主元列判断原列，而不是拿变换后不同的向量冒充原组成员。

先独立作答；卡住时看提示，完成后再对照解析。

方程 $x+y=0$ 的解不只有 $(0,0)$。取x=1，y就为−1；取x=2，y就为−2；取x=−3，y就为3。

可以把x统一记成任意数t，这样全部解写成 $(x,y)=(t,-t)=t(1,-1)$。只需要一个向量 $(1,-1)$，乘上不同的t，就能列出所有解。

方程组右端都是0时，也可以寻找这样一组“组合出全部解的向量”，这就是基础解系要解决的问题。

齐次方程组右端全为0，写Ax=0。把所有未知数都取0永远成立，所以它不是先问“有没有解”，而是问“有没有非零解，以及所有解怎样描述”。

消元后，每一个主元给出一个独立约束。若有n个未知数、秩为r，就剩n−r个可以自由选的变量；它们叫自由变量，其余主元变量由它们决定。r=n时没有自由度，只剩零解；r<n时可以选非零参数，得到非零解。

例如x+y+z=0只有一个独立约束，先令y=s、z=t，x就必须为−s−t，因此全部解为 $s(-1,1,0)+t(-1,0,1)$。自由选s、t不会违反方程，且每个解都能这样写，这才叫写出了全部解。

把参数依次设为“一个1、其余0”，得到的n−r个独立解叫基础解系。它不是任意找几个解，而是既不能冗余，又能线性组合出所有解。零向量不用列入，因为全体参数取0自然得到它，而且含零向量的组一定相关。

齐次解相加、乘实数仍是解，所以解集形成经过原点的线性空间。几何上一个自由参数常对应一条线，两个对应一个平面；自由参数数目就是解空间维数。这里数的是独立约束r，不是纸面上方程行数，多写一条重复方程不会减少自由度。

若最简方程x₁+2x₃=0、x₂-x₃=0，令自由变量x₃=t，得到x=t(-2,1,1)ᵀ。一个参数对应一条通过原点的直线，而不是一个唯一点。

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把上一节的方程改成 $x+y=1$。这次 $(0,0)$ 不再是解，但 $(1,0)$ 是一个解。

从 $(1,0)$ 出发，给x加t、给y减t，两者的和仍为1。因此所有解可以写成 $(1,0)+t(1,-1)$。这里，第一部分负责让右端等于1，第二部分怎样变化都不会改变这个和。

这就是“一个特解加上对应齐次方程的全部解”的意思。下面先判断哪些方程组有解，再把这个写法推广。

非齐次方程Ax=b先要检查约束会不会互相矛盾。例如x+y=1与2x+2y=2其实同一条件；若第二式右端改为3，就与第一式不相容。消元会把这种矛盾暴露成0=1。

系数矩阵的秩r(A)数左边的独立信息，增广矩阵r(A|b)还把右端常数纳入。两者相等时没有“左边全0、右边非0”的矛盾行，方程组有解；增广秩更大则无解。先过这一关，再谈解的数量。

若有解且共同秩等于未知数个数n，每个变量都被确定，解唯一；共同秩小于n，就有n−r个自由变量，解无穷多。仅r(A)=n不一定保证有解，因为矩阵可以有更多行，右端仍可能矛盾；它只保证有解时唯一。

怎样写全部解？先找一个特解η，再加对应齐次方程Ax=0的任意解ξ。因为 $A(\eta+\xi)=b+0=b$；反过来任意两个非齐次解相减，右端抵消为0，所以它们的差一定是齐次解。于是全部解是η加上基础解系的任意线性组合。

几何上，这是把过原点的齐次解空间平移到η的位置。b≠0时原点不在解集中，所以一般不能把非齐次解集称线性空间；两个非齐次解相加会得到右端2b。求两组方程的公共解，则把约束上下拼起来，同时满足后再统一消元。

两个特解η₁、η₂之差满足A(η₁-η₂)=b-b=0；反之η+ξ代回为b+0。于是解集是把齐次解空间整体平移到η。

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方程组是 $x+y=1$、$x+ay=b$。a和b是题目暂时没有给出具体数值的两个条件。

当a=1时，两式左边一样：如果b=1，它们说的是同一件事；如果b=2，就同时要求x+y既等于1又等于2，不可能满足。

可见，a、b取不同值，答案可能完全不同。含参数题要做的，就是先找出这类变化发生在哪里，再把各类情况分别说清。

参数不是新的未知数，而是暂时没给定的条件；它改变时，方程组的结构可能变。消元过程中每次想除以a−1，都在暗中要求a≠1，因此必须把a=1留下单独检查。

用两式x+y=1、x+ay=b演示。相减得到 $(a-1)y=b-1$。若a≠1，才能除，得到 $y=\frac{b-1}{a-1}$，再回代求x；若a=1，原式变成 $0=b-1$，这已不再决定y，而是在判断两条约束是否矛盾。

当a=1、b=1，两条方程重合，y可以自由选，产生无穷多解；当a=1、b≠1，出现0等于非零数，无解。不能把一般公式分母代成0后就宣布“无解”，因为一般公式本来就不适用于这一分支。

方阵题可先算行列式找出可逆范围：非零时唯一解，等于0的参数值回到增广矩阵看秩。也可以直接消元找可能消失的主元。尽量先用不除参数的操作保留完整信息，再分情况。

最后整理成互不重叠且覆盖全部允许参数的答案：每一支说明无解、唯一解还是无穷多；有解时按题意给具体解或通解。每支挑一个具体参数代回有助于发现漏项，但试值只作核验，不能代替整支的证明。

x+y=1、x+ay=b，相减得(a-1)y=b-1。如果a≠1，y=$\frac{b-1}{a-1}$，x=$\frac{a-b}{a-1}$；如果a=1，剩0=b-1，是否有解取决于b是否1。

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