03 / 统计基础：从样本认识总体 · 小节 1
总体、样本与统计量
区分总体未知参数与样本可计算结果。
大纲要求的教学展开 · 技术讲解 · 本节来源与考点
前置知识：平均水平与波动：期望、方差和相关 · 符号回看
从一个问题开始
在图书馆门口调查学习习惯，能代表全校所有人吗？
把这件事讲清楚
总体是研究对象全体，样本是实际观察的部分。参数如总体均值μ是总体特征；统计量是不含未知参数、只由样本算出的函数。简单随机样本常建模为独立同分布X₁…Xₙ；观察后得到具体数值x₁…xₙ。随机抽样不等于随便找方便的人。覆盖偏差、无应答、自愿参与都会改变样本构成。
为什么成立 · 关键推导
先规定总体和测量口径，再确定抽样框、随机方法和缺失处理。记录样本量只是第一步；把只来馆的人扩大到全校，扩大n也无法消除这个系统偏差。
入门例题 / 1
研究全校通勤时间，抽样框用学籍名册而不是地铁站旅客。在年级间分层后随机抽取，可让各层都有机会；分析时需按抽样设计考虑权重。
典型应用与变式 / 2
样本2、4、6，样本均值4是统计量；表达式Σ(Xi−μ)²/n含未知μ，不能作为无需未知参数即可计算的统计量。
停一下，自己试一试
先独立作答；卡住时看提示，完成后再对照解析。
概念判断
样本量大就一定代表总体吗？
需要一点提示
想只问活跃用户一万人。
查看过程、答案与错因
不一定。选择机制错误会系统偏向某类人；大样本只能降低合适模型下的随机误差，不能自动修复偏差。
计算与执行过程
样本3、5、7、9，求均值和极差。
需要一点提示
分别求和除以4、最大减最小。
查看过程、答案与错因
均值6，极差6。它们都是由样本决定的统计量。
条件与错误辨析
把同一个用户10次点击当成10个独立用户，有何问题？
需要一点提示
一个人的重复行为可能相关。
查看过程、答案与错因
独立同分布假设通常不成立，可能高估有效样本量。应按用户聚合或使用能处理相关性的模型。
带走这一句
先检查数据怎么来，再计算它告诉了什么。
03 / 统计基础：从样本认识总体 · 小节 2
样本均值、样本方差与抽样分布
知道统计量也会随抽样变化，并识别常见分布的条件。
大纲要求的教学展开 · 技术讲解 · 本节来源与考点
从一个问题开始
为什么统计课常把平方偏差和除以n−1，而不是n？
把这件事讲清楚
样本均值。无偏样本方差，要求n≥2；用于描述手中数据也可定义除以n的版本，必须注明。独立同分布且方差有限时E(均值)=μ、Var(均值)=σ²/n。抽样分布指重复抽样时统计量的分布，不是样本直方图。
为什么成立 · 关键推导
偏差和Σ(Xi−均值)=0，最后一个偏差被前面决定，失去一个自由度。正态总体下：Z=(均值−μ)/(σ/√n)为标准正态；(n−1)S²/σ²为χ²(n−1)；T=(均值−μ)/(S/√n)为t(n−1)。两个独立正态样本的(S₁²/σ₁²)/(S₂²/σ₂²)为F(n₁−1,n₂−1)。这些精确结论有正态与独立条件。估计区间、显著性检验是延伸用途，非本课依据大纲新增的必修条目。
入门例题 / 1
样本1、2、3，均值2，平方偏差和1+0+1=2；S²=2/(3−1)=1。若用除以n的描述方差则2/3，要明确名称。
典型应用与变式 / 2
正态总体μ=10，σ=4，n=16。均值标准差4/√16=1，P(9≤均值≤11)=P(−1≤Z≤1)≈0.6827。标准化的是样本均值，不能仍用原变量标准差4作分母。
停一下，自己试一试
先独立作答；卡住时看提示，完成后再对照解析。
概念判断
t分布来自“任何总体的小样本”吗？
需要一点提示
精确推导依赖什么总体？
查看过程、答案与错因
不是。独立正态样本时结论精确；非正态小样本不能无条件套用。
计算与执行过程
样本2、4、6，算S²。
需要一点提示
均值4，偏差−2、0、2。
查看过程、答案与错因
平方和8，除以n−1=2得4；S=2。
条件与错误辨析
把n翻4倍，独立同分布下均值标准差怎样变化？
需要一点提示
σ/√n。
查看过程、答案与错因
变为原来1/2，不是1/4；若样本相关，这个缩小规则不一定成立。
带走这一句
样本有随机性，统计量也有；公式必须带抽样条件。
章末 / 把知识接起来
综合训练
原创综合训练
样本2、4、4、6求均值与无偏样本方差。若总体正态，写相应t统计量及自由度。说明便利抽样的风险。
需要一点提示
平方偏差和除n−1；t分母为S/√n。
查看过程、答案与错因
均值4，平方偏差和8，S²=8/3；T=(均值−μ)/(S/2)，自由度3。便利抽样可能系统遗漏某类人，不能因为n增加就认为无偏。t精确分布依赖正态独立样本。