概率：从可能性到可信判断

随机抽一张1至6号卡，“偶数或大于4”的概率能直接相加吗？

样本空间Ω包含一次试验全部可能结果；事件是其中一组结果。概率P(A)在0与1之间，P(Ω)=1。不可能事件概率为0，但连续模型里概率0的事件不一定不可能。只有有限个结果且等可能时，才可用有利结果数除以全部结果数。互斥是不能同时发生，互补是合起来覆盖所有结果且互斥。

A和B重叠部分被P(A)+P(B)计算两次，所以$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$。补事件$P(A^c)=1-P(A)$。画两个圆比直接背公式更不易遗漏交集。

先独立作答；卡住时看提示，完成后再对照解析。

已知抽到的是偶数卡，再问大于4的概率，分母为什么改变？

条件概率$P(A\mid B)$读作“在B发生条件下A的概率”，要求P(B)>0。它只在B内重新分配概率：$P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$。独立指知道B不改变A的概率，等价于P(A∩B)=P(A)P(B)。独立并不意味着不能同时出现。

把条件概率公式移项得到乘法公式P(A∩B)=P(B)P(A|B)。连续做多步试验时，每一步都写明之前已知条件；只有已证明独立，才去掉条件。

先独立作答；卡住时看提示，完成后再对照解析。

检测显示异常，为什么不等于一定真的异常？

设互斥且完备的原因B₁…Bₙ把所有情况分完。全概率把各条路径加起来：$P(A)=\sum_i P(B_i)P(A\mid B_i)$。贝叶斯再反向分配：$P(B_j\mid A)=\frac{P(B_j)P(A\mid B_j)}{P(A)}$。先验P(Bj)是观察前的比例；后验是看到A后的比例。两种条件方向一般不同。

不用一开始记公式：假设10000个对象，把真实正常与异常先分组，再各自算报告异常的人数，最后在“报告异常”里找真正异常占比。这个计数过程就是贝叶斯。

先独立作答；卡住时看提示，完成后再对照解析。