随机变量：给不确定性一个数

等待时间恰好2分钟的概率为0，为什么2分钟附近仍很常见？

随机变量X是把随机结果映成数的规则。离散型逐点分配概率p(x)≥0且总和1。分布函数$F(x)=P(X\le x)$适用于所有类型，单调不减、右连续，远左趋0、远右趋1。连续型用密度f(x)≥0，曲线下总面积1；区间概率是$\int_a^b f(x)\,dx$。密度值可超过1，但面积不能超过1。积分在这里可先理解为窄条面积之和。

离散F是把不超过x的点概率相加；连续F是从负无穷累积面积。P(a<X≤b)=F(b)−F(a)。对有跳跃的离散分布，端点包含与否会改变答案；连续型单点概率0，端点通常不影响区间概率。

先独立作答；卡住时看提示，完成后再对照解析。

一天到馆人数、10次邀请的接受数、一次等待时间，为什么不能用同一个模型？

伯努利只有成功1/失败0，成功率p。独立重复n次且p不变，成功数服从二项B(n,p)：P(X=k)=Cₙᵏpᵏ(1−p)ⁿ⁻ᵏ。泊松Pois(λ)描述指定区间计数，P(X=k)=e⁻λ λᵏ/k!；需要稳定独立增量等建模假设。均匀U(a,b)密度1/(b−a)。指数Exp(λ)密度λe⁻λx（x≥0），尾概率e⁻λt，有无记忆性。正态N(μ,σ²)是对称钟形，μ控制中心，σ>0控制宽度。

二项公式由“挑成功位置”乘“每个排列的概率”得到。正态先标准化Z=(X−μ)/σ，再查标准正态累计表Φ；区间用两个累计概率相减。不要混淆指数参数λ（每单位时间平均次数）与平均等待1/λ。

先独立作答；卡住时看提示，完成后再对照解析。

“是否预约”和“是否到场”如何放在一张表里，遗漏了关联会怎样？

联合概率p(x,y)给出两个条件同时成立的概率。对另一变量求和得到边缘：pX(x)=Σyp(x,y)。连续时把求和改成积分。若所有点均满足p(x,y)=pX(x)pY(y)，离散变量独立；连续用联合密度分解判断。Y=g(X)的分布不是把X的概率数值直接代入函数，而是把所有映到同一结果的概率相加。

求变换先写P(g(X)≤y)，把不等式变回X的取值区间，再用X的分布函数。单调可导变换也可用密度公式，但必须带绝对导数因子；多分支必须累加，先用分布函数更稳。

先独立作答；卡住时看提示，完成后再对照解析。

两个方案平均等待都5分钟，一个总是5，一个一半0一半10，体验一样吗？

期望是概率加权平均：离散E(X)=Σxp(x)，连续为∫xf(x)dx。方差Var(X)=E[(X−EX)²]=E(X²)−(EX)²衡量分散，标准差是其平方根。E(aX+b)=aEX+b；Var(aX+b)=a²Var(X)。协方差Cov(X,Y)=E(XY)−EX·EY；相关系数ρ=Cov/(σXσY)，两方差均正时定义，范围[−1,1]。它描述线性相关，非因果证明。

展开平方再取期望得到方差快捷式。E(X+Y)=EX+EY不要求独立；Var(X+Y)=VarX+VarY+2Cov(X,Y)。独立且二阶矩存在时协方差0，逆命题一般不成立。常用模型：伯努利均值p方差p(1−p)，二项np与np(1−p)，泊松均值方差均λ，指数均值1/λ方差1/λ²，均匀均值(a+b)/2方差(b−a)²/12。

先独立作答；卡住时看提示，完成后再对照解析。

第一次成功要等几次，与固定做十次成功几次，随机变量相同吗？

若每次独立且成功率p固定，首次成功的试验次数X取1,2,…，P(X=k)=(1−p)ᵏ⁻¹p，称几何分布；本课使用包含成功那次的计数，均值1/p。总体N件含M件目标，不放回取n件，目标件数X服从超几何分布，概率可写为“从M中选k × 从N−M中选n−k ÷ 从N中选n”。合法k必须让两个组合数都可选。

连续变量函数可从累计概率推导，非单调映射要处理多分支。联合密度的边缘通过把另一个变量在允许区域内积分得到，积分上下限由区域决定，不能一律用常数。

若U在[0,1]均匀，Y=U²。0≤y≤1时，P(Y≤y)=P(U≤√y)=√y；对y求导得密度1/(2√y)，0<y<1。若不熟悉导数，先理解累计概率随y变化已足够使用区间公式；严格密度计算可回看数学二导数基础。

先独立作答；卡住时看提示，完成后再对照解析。