学习路线 / 全课程
从基础走到综合题
基础与进阶表示先后顺序。正式课程中的要求都需要学习。
00 · 预备篇：把工具准备好
- 字母、分式与代数变形 — 四则运算、乘方开方、因式分解、分式约分
- 哪些数满足条件：方程、不等式与区间 — 一元方程、不等式、绝对值、集合与区间
- 用一张图表示输入和输出 — 平面坐标、函数图像、直线与抛物线、图像平移
- 幂、指数与对数怎样互相翻译 — 幂运算、指数函数、对数运算与定义域
- 从单位圆认识三角函数 — 弧度、三角函数、恒等变形、反三角函数
- “如果”“只有”“对所有”到底在说什么 — 充分必要条件、量词、反例、求和与阶乘
01 · 函数、极限与连续
- 函数：先确定输入，再谈输出 — 函数定义、定义域、值域、分段函数
- 单调、奇偶、周期与有界 — 单调性、奇偶性、周期性、有界性
- 复合函数、反函数与基本函数 — 复合函数、反函数、基本初等函数、初等函数
- 极限：接近，不是代入 — 函数极限、左右极限、无穷远极限、极限定义
- 数列、夹逼与单调有界 — 数列极限、夹逼准则、单调有界准则、子列
- 极限的性质与代数计算 — 唯一性、局部有界性、保号性、四则运算法则、因式分解、有理化
- 两个重要极限与无穷小比较 — 重要极限、无穷小、等价无穷小、阶的比较、无穷大与无穷小关系
- 连续、间断与闭区间性质 — 连续性、间断点分类、复合连续性、最值定理、介值定理、零点定理
- 基本函数图谱与实际建模 — 幂函数图像、指数对数图像、三角反三角图像、函数关系建立
02 · 导数与微分
- 从平均变化率到导数 — 导数定义、左右导数、几何物理意义、可导与连续
- 基本求导与复合、反函数 — 基本导数公式、四则求导、链式法则、反函数求导
- 隐函数、参数方程与对数求导 — 隐函数求导、参数方程求导、对数求导
- 高阶导数、微分与近似 — 高阶导数、莱布尼茨公式、微分、微分形式不变性、近似计算
- 分段求导与切线、法线 — 分段函数求导、连续衔接、导数定义变式、法线方程
03 · 中值定理与极限进阶
- 从一段变化找到某点变化：罗尔与拉格朗日 — 罗尔定理、拉格朗日中值定理、常数判定
- 柯西中值定理与构造辅助函数 — 柯西中值定理、中值定理证明题、辅助函数
- 泰勒公式：为什么可以用多项式近似 — 泰勒公式、佩亚诺余项、拉格朗日余项、麦克劳林公式
- 洛必达法则与极限方法选择 — 洛必达法则、未定式转化、极限综合
04 · 导数的应用
- 单调、极值与最值 — 导数判单调、极值必要充分条件、闭区间最值
- 凹凸、拐点、渐近线与作图 — 二阶导判凹凸、拐点、渐近线、函数图像
- 曲率：弯得有多急 — 弧微分、曲率、曲率半径
- 根、不等式与实际最优化 — 根的个数、不等式证明、最优化建模
05 · 不定积分
- 原函数与基本积分 — 原函数、不定积分、基本积分公式、线性性质
- 换元积分：把复合结构拆开 — 第一换元法、第二换元法、三角换元
- 分部积分与递推 — 分部积分法、循环积分、递推积分
- 有理式、三角式与根式的处理 — 有理函数积分、部分分式、三角有理式、简单根式积分
06 · 定积分与反常积分
- 定积分：把很多小份加起来 — 定积分定义、可积性、定积分性质、积分中值定理
- 变限积分与牛顿—莱布尼茨公式 — 变上限积分、微积分基本定理、定积分计算、换元与分部
- 反常积分与敛散性 — 无穷区间积分、无界函数积分、比较判别、p积分
07 · 积分的应用
- 面积与体积：先画一片 — 平面面积、极坐标面积、截面体积、旋转体体积
- 弧长、旋转侧面积与平均值 — 平面曲线弧长、旋转侧面积、积分平均值
- 功、压力、引力与质心 — 变力做功、液体压力、引力、质心、物理建模
08 · 多元函数微分
- 两个输入：区域、极限与连续 — 二元函数定义域、二元极限、二元连续
- 偏导数与全微分 — 一阶偏导、二阶偏导、混合偏导、全微分、可微条件
- 多元复合与隐函数求导 — 多元链式法则、二阶链式、隐函数一阶二阶求导
- 二元极值、条件极值与最值 — 驻点、二阶判别、拉格朗日乘子、闭区域最值
09 · 二重积分
- 二重积分与直角坐标计算 — 二重积分定义性质、累次积分、区域描述、质量计算
- 换序与对称性 — 交换积分次序、区域分割、奇偶对称、交换对称
- 极坐标与综合区域 — 极坐标变换、面积因子、圆形区域、二重积分综合
10 · 常微分方程
- 微分方程与可分离变量 — 阶与解、通解特解、初值问题、可分离变量
- 一阶齐次型与线性方程 — 齐次型方程、一阶线性方程、伯努利方程辅助识别
- 可降阶方程 — y的高阶导等于已知函数、不显含y、不显含x
- 线性解结构与常系数齐次方程 — 线性叠加、通解结构、常系数齐次方程、特征方程
- 非齐次方程、共振与应用 — 指数多项式特解、三角特解、待定系数、初值应用
- 高阶常系数与变化模型 — 高于二阶的常系数齐次方程、重复特征根、衰减模型、冷却模型
11 · 矩阵与初等变换
- 方程组与矩阵：把系数排成表 — 矩阵定义、特殊矩阵、矩阵相等、加法与数乘
- 矩阵乘法、转置与分块 — 矩阵乘法、矩阵幂、转置法则、分块矩阵
- 初等行变换与阶梯形 — 初等变换、初等矩阵、行阶梯形、行最简形、矩阵秩
- 特殊矩阵、等价与分块计算 — 数量矩阵、三角矩阵、反对称矩阵、分块运算、矩阵等价
12 · 行列式与逆矩阵
- 行列式：方阵对应的一个数 — 行列式定义、排列逆序、二三阶计算、行列式性质
- 按行展开、伴随与求逆 — 余子式、代数余子式、展开定理、伴随矩阵、逆矩阵
- 克拉默法则与矩阵方程 — 克拉默法则、矩阵方程、逆矩阵应用
13 · 向量组、线性相关与秩
- 线性组合与相关无关 — n维向量、线性组合、线性表示、线性相关、线性无关
- 极大无关组、秩与子式 — 极大线性无关组、向量组秩、等价向量组、矩阵秩、秩的性质
- 内积、正交与正交化 — 向量内积、长度、正交、施密特正交化、正交矩阵
14 · 线性方程组的解结构
- 齐次方程与基础解系 — 齐次方程非零解条件、自由变量、基础解系、解空间维数
- 非齐次方程与公共解 — 有解判别、唯一与无穷多解、特解加齐次解、公共解
- 含参数方程组与秩讨论 — 参数讨论、临界值、秩与解结构综合
15 · 特征值、相似与对角化
- 不改变方向的向量 — 特征值、特征向量、特征多项式、特征值性质
- 相似与可对角化 — 相似矩阵、对角化条件、重根、矩阵幂
- 实对称矩阵与正交对角化 — 实对称矩阵谱性质、正交相似、重根正交化
16 · 二次型、合同与正定性
- 二次型与标准形 — 二次型矩阵、配方法、正交变换、标准形、规范形、惯性定律、合同
- 正定、负定与参数判定 — 正定二次型、特征值判别、顺序主子式、负定与不定
17 · 综合复习：选择方法与检查答案
- 一道题为什么选这种方法 — 极限与积分综合、跨章方法选择、计算检查
- 证明题：把条件接到结论 — 存在性证明、唯一性、必要充分、反例、边界检查
- 参数、综合训练与复盘 — 参数临界值、多工具综合、错因分析、复习路线