二重积分｜数学二学习讲义

09 / 二重积分 · 小节 1

二重积分与直角坐标计算

读完这一节，你会

能把一块区域上的小份总量加起来，并按横竖两个方向依次计算。

前置知识：二元极值、条件极值与最值 · 符号回看

从一个问题开始

一块薄板如果处处一样重，用“每平方米的质量×面积”就能算总质量。若左边厚、右边薄，不同位置每平方米的质量就不同。

把薄板分成许多小方块，每块近似按一个密度算质量，再相加，就得到总质量的近似。继续把小方块分细，便得到二重积分。

这里有两个位置坐标x、y。“二重”并不是把同一块板算两遍，而是先沿一个方向把小份加起来，再沿另一个方向继续加。

把这件事讲清楚

薄板每处面密度都可能不同，不能用某一点密度乘整板面积。把区域D切成小块，每块面积 $\Delta\sigma_i$ ，在块内取一点的密度f作近似，小块质量约为 $f(x_i,y_i)\Delta\sigma_i$ ；越来越细地累加，得到二重积分 $\iint_D f(x,y)d\sigma$ 。

符号dσ表示小面积，不是边界上的小长度。f=1时每块贡献就是面积，结果为D的面积；f为非负面密度时得到质量；f为非负高度时得到曲顶柱体体积。若f有负值，得到带符号累计，不能一律解释为几何体积。

计算时常把区域切成竖条。先固定x，看竖线从下边界 $y=\varphi_1(x)$ 走到上边界 $y=\varphi_2(x)$ ；沿这一条先对y积，再让x从a走到b，即 $\int_a^b dx\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f(x,y)dy$ 。内层计算时x是暂时固定的数，y积分完就不应再自由出现。

例如三角形 $x\ge0,y\ge0,x+y\le1$ ：x能从0到1；固定x后二者都要满足，y从0到1−x。不是把x、y各自都从0积到1，那样会多出三角形外半个正方形。如果一条竖线经过多个分离区间，就分块或改用横条。

线性、区域拼接、保序、绝对值估计和一元积分相同。连续函数在面积为正的闭有界连通区域上，其积分平均值是某点的函数值；它同样只保证存在。若求薄板质心，先算总质量，再用x或y乘密度积得相应力矩，最后除以质量。

为什么成立 · 关键推导

固定x取一条窄竖带，带内先沿y累加得到高度总量，再乘dx；把所有竖带相加，形成累次积分。内层上下限由竖线与区域交点决定，不能直接抄图上的所有边界方程。

入门例题 / 1

在矩形区域 $D=[0,1]\times[0,2]$ 上计算 $\iint_D(x+y)\,d\sigma$ 。

先固定x，对y从0积到2，把x当常数：

\int_0^2(x+y)dy=\left[xy+\frac{y^2}{2}\right]_0^2=2x+2.

再让x从0到1变化：

\int_0^1(2x+2)dx=[x^2+2x]_0^1=3.

检查：矩形面积为2，函数在这里的平均高度为1.5，面积乘平均高度也是3。内层变量y积分完后不能继续保留自由y。

典型应用与变式 / 2

在第一象限三角形D（满足 $x\ge0$ 、 $y\ge0$ 、 $x+y\le1$ ）上计算 $\iint_Dx\,d\sigma$ 。

固定x时，y从0到直线 $y=1-x$ ；为了让上限不小于下限，x从0到1。因此

\iint_Dx\,d\sigma=\int_0^1\left(\int_0^{1-x}x\,dy\right)dx=\int_0^1x(1-x)dx.

继续计算得到 $\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^1=\frac16$ 。这个积分表示把每块面积乘以它的x坐标后累加；若讨论质心，还要先算总质量或总面积，不能直接把 $\frac16$ 当成质心坐标。

停一下，自己试一试

先独立作答；卡住时看提示，完成后再对照解析。

概念判断

∬D 1 dσ代表周长吗？

需要一点提示

累加的是长度还是小面积？

查看过程、答案与错因

代表面积，不是周长。dσ表示分割后用来累计的一小块面积，称为面积微元。

计算与执行过程

求单位正方形上∬xy dσ。

需要一点提示

先y积分，x为常数。

查看过程、答案与错因

内积分 $\frac x2$ ，外积分 $\frac14$ 。矩形区域也可拆成两个一元积分之积核验。

条件与错误辨析

内层关于y积分后，结果还能保留自由y吗？

需要一点提示

上下限代入是否做完？

查看过程、答案与错因

不应保留被积变量y；内层求完只剩外变量x及参数。残留y通常说明漏代上下限。

带走这一句

先写区域，再写积分；二重积分最关键的步骤往往发生在计算之前。

09 / 二重积分 · 小节 2

换序与对称性

读完这一节，你会

能按同一个区域重新写出横向或纵向的积分范围，并说明为什么可以换顺序。

前置知识：二重积分与直角坐标计算 · 符号回看

从一个问题开始

一张座位表有3排、每排4个座位。数总座位时，可以先数每排4个，再加3排；也可以先数每列3个，再加4列。两种次序都数到同一批座位。

三角形区域也可以竖着一条条加，或者横着一条条加；不过每条的长度会随位置改变，所以积分范围必须跟着重新写。

下面沿同一个三角形画竖线和横线，分别找每条线从哪进入、从哪离开，再写出两种计算次序。

同一个三角形，两种切法

三角形的三条边是 $x=0$ 、 $y=x$ 和 $y=1$ 。

切片方向

固定横坐标 $x$ ，竖线从斜边 $y=x$ 穿进三角形，到上边 $y=1$ 穿出。因此先让 $y$ 从 $x$ 积到 $1$ ，再让 $x$ 从 $0$ 积到 $1$ ： $\int_0^1 dx\int_x^1 f(x,y)\,dy$ 。

把这件事讲清楚

同一块三角形，可以竖着一条条扫，也可以横着扫。换积分次序只是改用另一种扫描方式，区域中的每个点仍然要恰好算一次。因此不能只把dx、dy交换而保留原来的界限。

先把原积分翻成不等式。例如 $0\le x\le1,x\le y\le1$ 是直线y=x上方、y=1下方的三角形。改用y作外变量，先看整块区域最小与最大y，得到0≤y≤1；再固定一个y向左右看，x从0走到y，于是成为 $0\le y\le1,0\le x\le y$ 。

为什么值得换？ $\int_x^1 e^{y^2}dy$ 难以用初等函数计算；换序后先对x积， $e^{y^{2}}$ 暂时是常数，产生一个宽度y，剩下 $\int_0^1y e^{y^2}dy$ 就能换元。选择顺序要同时考虑边界是否简单和内积分是否好算。

对称性则用成对小块抵消或合并。区域关于y轴对称时， $(x,y)$ 与 $(−x,y)$ 同在区域；若函数改x符号后变号，两块贡献相反，积分为0；若不变号，可以取一半乘2。只有函数奇偶却没有成对区域，不能抵消。

若交换x和y后区域不变，交换变量也不改变积分，可用 $\iint_D f(x,y)=\iint_D f(y,x)$ 平均两种表达式。两种对称都要先核实点集不变，不是看到圆形或一个奇次幂就把整个积分写0。

为什么成立 · 关键推导

区域0≤x≤1、x≤y≤1，改用y作为外变量时：0≤y≤1、0≤x≤y。点集相同，只是扫过区域的方向变化。

入门例题 / 1

计算 $\int_0^1dx\int_x^1e^{y^2}dy$ 。

先判断困难：原内层对y积分，eʸ²没有通常的初等原函数。不要因此放弃，先将积分限翻成区域 $0\le x\le1,x\le y\le1$ ，画出位于y=x上方的三角形。

改为横条：y最低0、最高1；固定y后，x从左边0走到右边y。因此换序为 $\int_0^1dy\int_0^ye^{y^2}dx$ 。

内层积分时y不动，所以 $\int_0^ye^{y^2}dx=ye^{y^2}$ 。再令u=y²，du=2y dy，得到 $\frac12\int_0^1e^u du=\frac{e-1}{2}$ 。换序有效的原因是同一区域被完整重述，并产生了恰好能换元的因子y。

典型应用与变式 / 2

在单位圆盘 $x^2+y^2\le1$ 上计算 $\iint(x^3+y^2)\,d\sigma$ 。

区域关于y轴对称。对称点(x,y)与(−x,y)上的 $x^3$ 符号相反，所以 $\iint x^3d\sigma=0$ 。

剩下的 $y^2$ 不能抵消。用极坐标 $y=r\sin\theta$ 、 $d\sigma=r\,drd\theta$ ，得到

\int_0^{2\pi}\int_0^1r^3\sin^2\theta\,drd\theta=\frac14\cdot\pi=\frac\pi4.

所以原积分为 $\frac\pi4$ 。奇函数只能消掉对应的那一项，不能把含有偶函数 $y^2$ 的和式整体判为0。

停一下，自己试一试

先独立作答；卡住时看提示，完成后再对照解析。

概念判断

区域只位于第一象限，奇函数积分还自动为0吗？

需要一点提示

有没有相反坐标的配对点？

查看过程、答案与错因

没有对应对称区域时不能抵消，例如单位正方形上∬x= $\frac12$ 而非0。

计算与执行过程

将∫₀¹dx∫₀ˣf(x,y)dy换序。

需要一点提示

区域在直线y=x下方。

查看过程、答案与错因

y从0到1，固定y后x从y到1，得到∫₀¹dy∫ᵧ¹f(x,y)dx。上下三角不能弄反。

条件与错误辨析

交换次序后能否继续沿用原来的内层上下限？

需要一点提示

内变量已经改变。

查看过程、答案与错因

一般不能，必须根据同一片区域重新求边界。只有某些矩形常数限情形可直接交换。

带走这一句

换序解决计算困难，对称性减少工作量；二者都必须忠于原区域。

09 / 二重积分 · 小节 3

极坐标与综合区域

读完这一节，你会

能用角度和距离定位点，写出圆形区域的范围，并正确计算小块面积。

前置知识：换序与对称性 · 符号回看

从一个问题开始

告诉你“从这里朝东北走100米”，即使没说横向走多少、纵向走多少，也能确定目标位置。这里用的是方向和距离。

圆盘特别适合这样描述：从圆心出发，方向可以转一整圈，走的距离不能超过半径。比起分别写出x、y的圆弧边界，这种说法简单得多。

数学把距离记为r，把与横轴的夹角记为θ，这套定位方法叫极坐标。换了定位方法后，小块面积的写法也要一起改变。

把这件事讲清楚

遇到圆盘，用横竖条描述边界常出现根号；换成“从圆心朝哪个角度走、多远”就自然得多。极坐标写 $x=r\cos\theta,y=r\sin\theta$ ，r≥0是到原点的距离，θ是射线方向， $x^2+y^2=r^2$ 。

面积也要一起变。固定半径附近，小块径向厚度dr、绕圆方向长度约为r dθ，两者相乘是 $d\sigma=r\,dr\,d\theta$ 。同样的角度在外圈扫过更长弧线，所以半径r必须出现；只把x²+y²改成r²却忘了面积因子，会算错总量。

写范围先角度、后半径：观察哪些方向会碰到区域；在每条固定射线上，再找从哪里进入、哪里退出。单位圆盘为 $0\le\theta\le2\pi,0\le r\le1$ ；第一象限只取到 $\frac\pi2$ ；圆环中间有洞，r下限必须大于0。

对 $x^2+y^2\le2ax$ （a>0），代入后为 $r^2\le2ar\cos\theta$ 。原点另看，其余r>0可约去r，得到 $0\le r\le2a\cos\theta$ ；右界要非负，因此角度选 $-\frac\pi2\le\theta\le\frac\pi2$ 。先画出偏右的圆，就能理解为何不能扫满一周。

多个边界相交时，沿同一射线要同时满足全部限制，外半径取允许上界中较小的一个；决定最小者的边界可能随角度变化，所以需要分段。算完可用f=1时的几何面积或对称性检查，尤其能发现漏r、漏内边界、重复扫圈。

为什么成立 · 关键推导

单位圆盘面积 $=\int _{0}^{2π}dθ\int _{0}^{1}r dr=π$ 。若漏r，就错误得到2π，这个简单面积例子能帮助检查坐标变换。

入门例题 / 1

算单位圆盘上 $\iint(x^2+y^2)\,d\sigma$ 。

在极坐标中，被积函数变为 $r^2$ ，面积微元同时变为 $d\sigma=r\,drd\theta$ 。单位圆盘的范围是0≤r≤1、0≤θ≤2π，因此

\iint(x^2+y^2)d\sigma=\int_0^{2\pi}\int_0^1r^3drd\theta=2\pi\cdot\frac14=\frac\pi2.

由x、y对称性，单独的 $x^2$ 和 $y^2$ 积分各为 $\frac\pi4$ 。若只把被积函数换成 $r^2$ 而漏掉面积因子 $r$ ，会少算一层面积伸缩。

典型应用与变式 / 2

求区域D（满足 $x^2+y^2\le2x$ ）的面积。

换成极坐标后，条件变为 $r^2\le2r\cos\theta$ 。除去原点后得到 $0\le r\le2\cos\theta$ ；为了让半径上限非负，角度只能取 $-\frac\pi2\le\theta\le\frac\pi2$ 。

使用 $d\sigma=r\,drd\theta$ ：

A=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\int_0^{2\cos\theta}r\,drd\theta=2\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos^2\theta d\theta=\pi.

配方可核验： $(x-1)^2+y^2\le1$ 是圆心(1,0)、半径1的圆，几何面积同样为π。

停一下，自己试一试

先独立作答；卡住时看提示，完成后再对照解析。

概念判断

极坐标积分只需把x²+y²换成r²吗？

需要一点提示

面积微元也变了。

查看过程、答案与错因

还要将dσ换成r dr dθ，并重新给范围。漏r会改变总量。

计算与执行过程

算第一象限单位四分之一圆盘上∬1 dσ。

需要一点提示

角度只到 $\frac\pi2$ 。

查看过程、答案与错因

$\int _{0}^{\frac{\pi}{2}}d\theta\int _{0}^{1}r dr=\frac{\pi}{4}$ ，等于圆面积四分之一。

条件与错误辨析

对圆环1≤x²+y²≤4，半径下限能写0吗？

需要一点提示

中间空洞是否属于区域？

查看过程、答案与错因

不能，r从1到2，角度0到2π；面积π(4-1)=3π。忽略内边界会把洞填上。

带走这一句

直角坐标善于处理直边，极坐标适合处理圆形区域和只与到原点距离有关的表达式；选择取决于函数和区域两者。

章末 / 把知识接起来

综合训练与真题

原创综合训练

D为第一象限单位圆盘，求∬D(x²+y²)dσ，并写出直角坐标与极坐标两种积分。

需要一点提示

直角坐标边界是圆弧，极坐标函数与微元都要变。

查看过程、答案与错因

直角形式 $\int _{0}^{1}dx\int _{0}^{\sqrt{1-x^{2}}}(x^{2}+y^{2})dy$ ；极坐标 $\int_0^{\frac\pi2}d\theta\int_0^1r^3\,dr=\frac\pi8$ 。四倍该值为全圆盘 $\frac\pi2$ ，符合对称核验。

2025 年 · 数学二 · 第 20 题

两个圆交集的极坐标积分

题目与题号已对照大学公开转载试卷核验，解析为本课独立编写。原卷第 4 页。

真题研读 · 题干要点与独立解析

区域D满足 $x^2+y^2\le4x$ 且 $x^2+y^2\le4y$ ，求 $\iint_D(x-y)^2dxdy$ 。

需要一点提示

交集取两半径上界的较小者；利用x、y交换对称。

查看过程、答案与错因

D在第一象限，0≤θ≤ $\frac\pi2$ ，r≤min(4cosθ,4sinθ)。关于θ= $\frac\pi4$ 对称，取0≤θ≤ $\frac\pi4$ 时上界4sinθ并乘2。积分为 $2\int_0^{\frac{\pi}{4}}(\cos\theta-\sin\theta)^2\int_0^{4\sin\theta}r^3dr\,d\theta=128\int_0^{\frac{\pi}{4}}\sin^4\theta(1-\sin2\theta)d\theta$ 。两项积分分别3 $\frac\pi3$ 2- $\frac14$ 与 $\frac12$ 4，故结果 $12\pi-\frac{112}{3}$ ，约0.36578。部分转载解答把交集半径误取较大者，本课按区域重算，并用直角坐标数值积分交叉核验。