行列式与逆矩阵

把边长1的正方形横向拉成原来的2倍、纵向拉成3倍，面积就从1变成6。若把所有点都压到一条直线上，面积则变成0。

一个二维线性变换对面积的影响，可以用一个数来记录。这个数叫行列式：绝对值表示面积倍率，正负还记录方向是否翻转。

矩阵是一整张数表，行列式是由方阵算出的一个数。下面从二阶计算开始，看这个数怎样帮助判断变换和方程组。

矩阵是一张数表，行列式则把一个方阵对应成一个数，记det A或|A|。竖线在这里表示行列式，不是给每个元素取绝对值。二维时，它描述变换后有方向的面积相对原面积放大多少；变成一条线时面积塌为0。

二阶 $A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ 的行列式为ad−bc。两项分别从每行、每列各取一个数，顺序不同带不同符号。n阶定义也对每列下标的排列求和：$|A|=\sum_{j_1\cdots j_n}(-1)^\tau a_{1j_1}\cdots a_{nj_n}$。τ是逆序数，即前面比后面大的数对个数；偶数次取正，奇数次取负。

定义是理解依据，实算大矩阵不必列出所有排列。用性质制造0更省事：交换两行使行列式变号；某一行乘k使值乘k；某一行加另一行的倍数不改值。列也有相应性质，每一步都要记录是否改变结果。

三角矩阵的行列式是主对角元素乘积，因为其他有效乘积都遇到0。两行相同或成倍时值为0。转置不改行列式，且 $|AB|=|A||B|$。整个n阶矩阵乘k等于n行各乘k，因此 $|kA|=k^n|A|$，不能只乘一次。

行列式非零表示方阵没有把某个非零方向压掉，因此可逆；值为0则不可逆，具体逆矩阵下一节讲。非方阵没有本课通常意义下的行列式，但可以抽取方形小块算子式，不要将“没有行列式”误说成矩阵没有用。

二阶排列12无逆序给ad，21有一个逆序给-bc，所以ad-bc。若两行相同，交换它们矩阵不变却让行列式变号，因此行列式只能为0。

先独立作答；卡住时看提示，完成后再对照解析。

先把一个数乘2，再除以2，就能找回原来的数。二维坐标也可以这样：若先把横坐标乘2、纵坐标乘3，再分别除以2、除以3，就回到原位置。

原操作用矩阵 $A=\begin{pmatrix}2&0\\0&3\end{pmatrix}$ 记录，撤销它的操作用 $\begin{pmatrix}\frac12&0\\0&\frac13\end{pmatrix}$ 记录。后一个矩阵叫A的逆矩阵。

但不是每种变化都能撤销：若先把整个平面压成一条线，就丢失了原来某个方向的位置。下面学习怎样判断能否求逆，以及一般矩阵怎样求逆。

逆矩阵的目标是撤销一整次线性变换。若方阵A有矩阵B使AB=BA=I，就记B为 $A^{-1}$。它不是逐个把元素取倒数；例如矩阵里含0也可能可逆，只要整体变换没有丢失信息。

先学怎样从小块计算行列式。删去第i行第j列，剩下小方阵的行列式叫余子式 $M_{ij}$；再乘符号 $(-1)^{i+j}$ 得代数余子式 $C_{ij}$。符号排列像棋盘，从左上角的正号开始，隔一格变号。

按第i行展开就是 $|A|=\sum_j a_{ij}C_{ij}$：该行每个元素乘自己的代数余子式后相加。选0多的一行能少算很多项；零元素对应项不用计算。按列展开也成立。

把所有Cᵢⱼ排成矩阵后再转置，得到伴随矩阵A*，满足 $AA^*=A^*A=|A|I$。如果|A|≠0，就能除以这个普通数，得到 $A^{-1}=\frac{A^*}{|A|}$。先变符号、再转置，两步缺一不可。

实算较大的逆常用消元：把单位矩阵附在A右边，对 $(A\mid I)$ 整行操作，若左边变成I，右边就是A的逆。理由是左边接受的所有可逆操作合起来恰好撤销A，右边记录了这些操作自身。如果左边无法变成I，就不可逆。

撤销两步要倒序，所以 $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$；也有 $(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T$。做完最有效的检验是乘回原矩阵，检查是否得到I。

AA*的对角元素是同一行按余子式展开，等于|A|；非对角元素相当于把某行换成另一行后展开，因两行相同而为0。若|A|≠0，两边除该标量就得到逆。

先独立作答；卡住时看提示，完成后再对照解析。

方程 $2x=6$ 可以两边同除以2，得到x=3。矩阵方程 $AX=B$ 也想把已知的A消掉，但不能随意写成“B除以A”。

如果A有逆矩阵，就在两边左边同乘 $A^{-1}$，因为 $A^{-1}A=I$，得到X。若原方程写成 $XA=B$，就需要在右边乘逆矩阵，才能让A与它的逆相邻。

本节先把这个顺序弄清，再介绍用行列式直接写出某个未知数的方法。

一元方程2x=6，可以在两边同除以2；矩阵方程AX=B中没有直接“除以A”的运算。只有A可逆时，才可在两边左乘 $A^{-1}$，得到X=A⁻¹B。若A在未知矩阵右边，如XA=B，则要右乘，得到X=BA⁻¹。乘法顺序属于等式内容，不能交换。

方阵系数的线性方程组Ax=b，若|A|≠0，就有唯一解 $x=A^{-1}b$。克拉默法则进一步把每个未知数写成行列式之比：$x_j=\frac{|A_j|}{|A|}$，Aⱼ是把A第j列替换为常数列b得到的矩阵。

为什么替换列？系数矩阵的第j列始终与第j个未知数配对，解的各分量加权组合这些列得到b。行列式的单列线性与重复列为0，使替换列后的行列式只留下xⱼ倍的原行列式；下方推导把这一步展开。

操作时先算分母D=|A|确认非零，再按未知数顺序分别替换一列算Dⱼ，最后求比值并代回。不要替换成一行，也不要同时把所有列都换掉。小规模和理论题适合这方法，方程多时消元通常更短。

若|A|=0，只能说逆与这条商公式不可用，不能据此判断无解。此时可能约束重复而有很多解，也可能约束矛盾而无解，后面要比较系数矩阵和增广矩阵的秩。更一般AXB=C，在A、B可逆且各次矩阵乘法的行列数匹配时，在左边乘A的逆、在右边乘B的逆，得到 $X=A^{-1}CB^{-1}$。

把b=Σxⱼαⱼ代入Aⱼ的第j列，按该列线性展开；除了xⱼ|A|之外，其他项含重复列而为0，因此|Aⱼ|=xⱼ|A|，得到克拉默公式。

先独立作答；卡住时看提示，完成后再对照解析。