向量组、线性相关与秩

平面上两个动作分别是“向右1格”和“向上1格”，记为 $(1,0)$ 和 $(0,1)$。向右做2次、向上做3次，总移动就是 $(2,3)$，写成 $2(1,0)+3(0,1)=(2,3)$。

把向量乘一个数再相加，这种做法叫线性组合。系数若为负数，就表示往相反方向；若为0，就表示不用这一项。

现在把两个动作改成 $(1,2)$ 和 $(2,4)$。第二个只是第一个做两次，并没有提供新的移动方向。下面用这个区别理解“线性相关”和“线性无关”。

向量可以先看作有固定顺序的一组数，例如(2,3)表示两个坐标。线性组合允许把若干向量分别乘实数，再相加：$k_1\alpha_1+\cdots+k_m\alpha_m$。系数可以负、可以0，不限于“正份数配料”，几何上也允许反方向。

“β能否由这一组表示”就是问能否找到一组系数，使向量等式成立。例如 $(2,3)=2(1,0)+3(0,1)$。把原向量按列排成A，系数排成列k，这个问题就成为Ak=β有没有解，能直接用已学消元处理。

线性相关在问“这组方向是否有冗余”。若不全为0的系数也能组合出零向量，就能用并非全为0的系数组合出零向量，叫线性相关；若只有所有系数为0这一种办法，叫无关。必须强调“不全为0”，因为全零系数对任何向量组都能拼出0，无法区分。

例如 $(1,2)$ 与 $(2,4)$ 虽然数值不同，后者只是前者两倍，关系 $2(1,2)-(2,4)=0$ 表明第二个方向没有增加新信息。反之 $(1,0)$ 与 $(0,1)$，横纵分量要同时为0，只能两个系数都0，因此无关。

若某关系中kⱼ≠0，就可移项并除以kⱼ，把αⱼ用其他向量写出来，所以相关等价于“至少一个向量能由其余表示”。含零向量必相关；无关组抽走几个仍无关；相关组再添向量也消不掉已有关系。m>n个n维向量必相关，可由n条齐次方程却有m个未知系数理解。

求线性表示时，右端是给定的目标向量β，要求找到表示系数；判断线性相关时，右端是零向量，要求判断是否存在不全为0的系数。

若某kⱼ≠0，把kⱼαⱼ移项并除以kⱼ，便得到αⱼ由其他向量线性表示。反过来，已有表示式移到一边就是一个非零系数组合等于0。

先独立作答；卡住时看提示，完成后再对照解析。

已有“向右1格”和“向上1格”两个动作，再增加“向右1格、向上1格”这个动作，能到达的新位置会增加吗？不会，因为第三个动作可以由前两个相加得到。

所以三个向量 $(1,0)$、$(0,1)$、$(1,1)$ 中，前两个已经够用。它们自己不能互相替代，又能组合出原来全部向量。

这样挑出的一组叫极大无关组。组中向量的个数叫秩；本例的秩是2。下面学习向量更多时怎样系统地找出它们。

一组向量很多，不代表有同样多独立方向。例如 $(1,0)$、$(0,1)$、$(1,1)$ 三个向量里，第三个是前两个的和，保留前两个就足够拼出原组的所有向量。

这样一组“自身无关、又能表示原组全部向量”的成员，叫原向量组的极大无关组；成员数量叫秩。它未必唯一，上例也可选 $(1,0)$ 与 $(1,1)$，但任何选择的数量都相同。极大指再添原组中的向量就会冗余，不是每个向量数值最大。

两组向量能互相表示，称等价，也就是能拼出的全部目标相同。同秩只说明独立方向数量相同，不说明方向相同：只含 $(1,0)$ 与只含 $(0,1)$ 的两组秩都1，却分别只能沿水平线与竖线走，不能互相表示。

矩阵的列秩是列向量组的秩，行秩是行向量组的秩，二者相等，也等于非零子式的最高阶数。子式是选若干行、同样多列形成方阵后算行列式。例如二阶行列式为0但存在非零元素，一阶子式非零，秩可能为1而不是0。

实际找原列的极大无关组，先对矩阵做行消元，数主元得到秩，记下主元出现在哪些列，再返回原矩阵取对应列。行变换保留列间的系数关系，却通常改变了每一列本身；拿变换后的列当原组成员是不对的。

秩也帮助估计计算结果：初等变换和乘可逆矩阵不改秩；$r(AB)\le\min(r(A),r(B))$，因为连续变换不能凭空恢复已经丢掉的独立方向；同尺寸时 $r(A+B)\le r(A)+r(B)$，但一般不是等号。

行变换等于左乘可逆矩阵E，A k=0与EA k=0有同样系数关系，因此列之间的依赖关系保留。可据变换后的主元列判断原列，而不是拿变换后不同的向量冒充原组成员。

先独立作答；卡住时看提示，完成后再对照解析。

向右走2格、向上走3格，总移动是 $(2,3)$。如果只关心向右走了多少，就只保留 $(2,0)$；剩下的 $(0,3)$ 与向右方向垂直。

当指定方向不是水平而是斜着时，也可以把一个向量分成“沿这个方向的一部分”和“垂直它的一部分”。前一部分叫在这个方向上的投影。

本节先学会用数字判断垂直、计算投影，再把一组不垂直的方向整理成互相垂直的方向。

二维向量的垂直关系可以推广到任意维：把对应分量相乘再相加，叫内积 $\alpha^T\beta=\sum_i a_i b_i$。它与普通矩阵乘法相容。向量长度为 $\|\alpha\|=\sqrt{\alpha^T\alpha}$，双竖线表示长度，不是行列式。

内积为0叫正交。二维或三维的非零向量中，就是几何垂直；非零向量两两正交时一定无关，因为一个方向不能靠其他全垂直的方向拼出来。零向量虽与所有向量内积为0，却没有方向和正长度，不能加入标准正交组。

要把斜向量α分成“沿u的一部分”和“垂直u的一部分”，先取投影 $\frac{\alpha^Tu}{u^Tu}u$，要求u≠0。系数是让余量与u内积为0解出来的，不是只除一次u的长度。α减掉这份投影，剩下的才垂直于u。

施密特正交化重复这个操作：保留第一个方向β₁=α₁；从α₂减去沿β₁的投影得到β₂；从α₃分别减去沿已有β₁、β₂的投影，再继续。输入须无关，才能保证每次仍有非零新方向；最后每个β除以自身长度，变成单位向量。

把n个单位且两两正交的向量作为方阵Q的列，得到 $Q^TQ=I$，叫正交矩阵，因此 $Q^{-1}=Q^T$。这种变换保持长度与夹角，可以旋转，也可以包含镜像。只让每列长度1还不够，列与列之间也必须垂直。

令β₂=α₂-cu，要求uᵀβ₂=0，得到c=$\frac{u^T\alpha_2}{u^Tu}$。减掉投影后剩余部分与u垂直，因此新向量与u的内积为0。

先独立作答；卡住时看提示，完成后再对照解析。