矩阵与初等变换

买2支笔和1本本子共7元，买1支笔和1本本子共5元。设笔价为x、本子价为y，两句话写成 $2x+y=7$、$x+y=5$。

两条式子反复出现同样的x、y。可以把它们的系数按顺序排成数表：第一行是2、1，第二行是1、1。第一列始终是x的系数，第二列始终是y的系数。

这样有固定行列位置的数表叫矩阵。先学会读懂每个位置，再用它更整齐地记录和计算方程组。

先把矩阵当作一张有固定行列位置的数表。方程 $2x+y=3$ 与 $x-y=0$ 共用同一批未知数，反复写x、y很占地方，所以把系数依次排成两行：第一行2、1，第二行1、−1。每一行代表一个方程，每一列对应同一个未知数。

m行n列叫m×n矩阵，元素 $a_{ij}$ 是第i行、第j列，先行后列。比如2×3表示两行、每行三个位置，并不是一个普通数6。两个矩阵相等要尺寸相同，而且每一个对应位置都相同。

把系数表记A，未知数排成列向量 $\boldsymbol{x}$，右端常数排成列向量b，就可简写 $A\boldsymbol{x}=b$。粗体x代表整列未知数，不是单个x；矩阵乘法下一节解释。把常数列附到系数表右侧，写 $(A\mid b)$，叫增广矩阵，竖线只用于分开系数与常数。

同尺寸矩阵相加，就是对应格子相加；数乘cA，是每一格都乘c。例如一张表整体记录两倍的量，每个位置都变两倍。不同尺寸没有一一对应的位置，不能直接相加。

行列数相同叫方阵；主对角线是从左上到右下的位置。只有对角线可非零的叫对角矩阵；单位矩阵I在主对角全是1、其余全0，后面会看到它在矩阵乘法里像数字1。零矩阵O则每格都为0，不是每格都为1。

转置 $A^T$ 把第i行搬成第i列，尺寸m×n变n×m。若方阵转置后完全不变，叫对称矩阵。这里只是更换行列记录方式，不是把每个数取倒数。

方程2x+y=3、x-y=0对应 $A=\begin{pmatrix}2&1\\1&-1\end{pmatrix}$，x向量为(x,y)ᵀ，b=(3,0)ᵀ。矩阵第一行仍表达第一个方程，语言压缩但内容未变。

先独立作答；卡住时看提示，完成后再对照解析。

一个点的坐标是 $(1,2)$。先把横坐标乘2，得到 $(2,2)$；再把横、纵坐标交换，仍是 $(2,2)$。

如果改成先交换，得到 $(2,1)$，再把横坐标乘2，就得到 $(4,1)$。两次操作相同，先后顺序不同，最终位置就不同。

矩阵可以记录这样的坐标变化。矩阵乘法把两次变化合在一起，所以乘法顺序也会影响答案。下面从具体的行列计算说明这个规则。

矩阵乘法首先是在组合两次规则。向量先经过B得到中间结果，再经过A，最终是A(Bx)；为了把两步合成一步，定义矩阵AB，使 $(AB)x=A(Bx)$。因此右边的B先作用，左边的A后作用，顺序有实际含义。

尺寸先检查：A为m×n，B为n×p，中间的n必须相同，AB才有定义，结果m×p。计算第i行第j列，用A第i行与B第j列对应相乘再相加：$(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj}$。编号k跑遍内部配对位置，不是只乘同一格。

例如一行(1,2)乘一列 $(3,4)^T$，得到 $1\cdot3+2\cdot4=11$。对结果的每一格都重复这个过程；做完可检查输出行列数，防止漏项。

通常AB≠BA，有时AB有定义而BA甚至没有。不能从AB=AC直接消去A，因为A可能把不同输入压成同一输出；只有额外条件允许时才能消去。例如有逆矩阵时可在左边同时乘A的逆，后面会专门学习。AB=O也不保证A或B为O。

结合律与分配律仍成立，但不能偷换顺序。$(A+B)^2=A^2+AB+BA+B^2$，只有AB=BA才合并中间项。转置会颠倒操作次序：$(AB)^T=B^TA^T$。方阵幂Aⁿ是重复矩阵相乘，不是每个格子各自求幂。

分块只是把数表分成小矩形来算；分块左边每块的列数与右边相乘块的行数相等时，也按行乘列。把一块视作一个单位可减少书写，但块与块仍是矩阵乘法，不能因此获得交换律。

二维变换先u=Bx，再y=Au；把u每个分量代进y，xⱼ的系数变成Σaᵢₖbₖⱼ，这正是行乘列。矩阵乘法因此与连续两次变换一致。

先独立作答；卡住时看提示，完成后再对照解析。

一支笔加一本本子共5元，两支笔加同一本本子共7元。第二次比第一次只多买一支笔，也只多付2元，所以笔价就是2元，本子价是3元。

用方程写，就是把 $2x+y=7$ 减去 $x+y=5$，得到 $x=2$。两式中的y被抵消了，原来两个未知数的问题先变成了一个未知数的问题。

这就是消元。把同样的加减操作记到矩阵的行上，就能有步骤地处理更多方程。

消元就是换一种等价说法，让方程逐渐容易读。例如两式x+y=3、2x−y=0，用第二式减去第一式的两倍，可得到−3y=−6，先确定y，再回到第一式求x。每次都用等价的方程替换原方程，因此解不变；消去的是某个方程中的未知数项。

允许三种初等行变换：交换两行；一行乘非零常数；一行加另一行的倍数。它们都能逆向恢复，因此不改变方程组解集。一行乘0则会丢掉一个约束，不能恢复，不属于允许操作。

对增广矩阵操作时整行一起变，右端常数也必须参加，不能只改左边系数。把全为0的行放在底部，让各非零行最左边的非零数逐行向右错开，就得到行阶梯形，形状像台阶。每个非零行最左边的非零数叫主元；有几个主元，就说明整理后留下几条不能互相替代的方程，这个数量叫秩。

行最简形更进一步：主元变成1，所在列其他位置全变0。主元所在列对应的未知数，可以用其他未知数表示；那些可以自行取值、再由它们确定其余值的未知数，叫自由变量。阶梯形通常已经够回代求解，不必每题都多算到最简。

把同一次行操作施加给单位矩阵I，得到初等矩阵E；左乘EA就会给A做同一行操作。右乘初等矩阵对应列操作，但列原本表示未知数的位置，交换列就相当于交换变量顺序。求解时若不跟踪这种变化，最后会把答案读错。

每一步写明如 $R_2\leftarrow R_2-2R_1$，R表示行；这样能知道用的是更新前还是更新后的行，也方便逆查错误。

方程E₂替换为E₂-kE₁后，可通过新E₂+kE₁还原旧E₂，所以新旧方程互相推出，解集相同。乘行的系数必须非零，否则无法还原。

先独立作答；卡住时看提示，完成后再对照解析。

矩阵 $\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}$ 作用在 $(x,y)$ 上，结果是 $(2x,2y)$：两个坐标都乘2。换成 $\begin{pmatrix}2&0\\0&3\end{pmatrix}$，就变成横坐标乘2、纵坐标乘3。

两个矩阵都只有主对角线上的数可能不为0，但第一个对各方向的作用相同，第二个不同。矩阵里0的位置和数字是否相同，都能让计算出现特殊规律。

下面把常见形状分清，再学习把大矩阵分成几块来计算。

特殊矩阵的价值是结构能省计算。数量矩阵cI把每个坐标都乘同一个c，因此能与同阶矩阵交换；普通对角矩阵每个方向缩放可能不同，不能一概交换。上三角矩阵主对角线以下全0，下三角则相反，乘法和行列式常因这些0变简单。

反对称矩阵满足 $A^T=-A$：交换行列以后，每个位置等于原位置的相反数。主对角位置交换后仍在原位，只能满足a=−a，所以必须为0。但对角全0只是必要条件，非对角成对元素也要互为相反数。

任意实方阵都可以拆成 $S=\frac{A+A^T}{2}$ 与 $K=\frac{A-A^T}{2}$。前者把一对位置平均后变对称，后者保留两位置的差而变反对称；S+K恢复原矩阵。这和把一个函数拆成奇、偶部分有相似的“平均与作差”思路。

分块时先画出每块尺寸。例如 $\begin{pmatrix}B&C\\0&D\end{pmatrix}$ 平方的右上块来自“第一块行乘第二块列”，所以是BC+CD，不是2BC。若非对角块全0，就成块对角矩阵diag(B,D)，这里diag表示沿主对角摆放这些块，各块可以独立求幂。

矩阵等价是允许有限次初等行、列变换互相变到；同尺寸矩阵等价当且仅当秩相同。行等价只允许行变换，要求更强。例如单行(1,0)与(0,1)秩都为1，允许交换列能互变，但只乘这一行任何非零数都做不到。名称相近，允许的操作不同。

对任意A，S=$\frac{A+A^T}2$满足Sᵀ=S，K=$\frac{A-A^T}2$满足Kᵀ=-K，且S+K=A。分块乘法来自普通行乘列，只是把求和按列范围分组。

先独立作答；卡住时看提示，完成后再对照解析。