常微分方程

假设一群细菌的数量越多，每分钟新增的数量也按同样比例变多。若当前数量是100，每分钟新增约10；当前数量是200，就新增约20。

用y表示数量，用t表示时间，这条规律写成 $\frac{dy}{dt}=0.1y$：左边是数量增长的快慢，右边是当前数量的十分之一。题目这次没有直接告诉我们y怎样随t变化，而是告诉我们“它增长得多快”。

要从这条增长规律找回y的公式，就需要解微分方程。先从能把两种变量分开放到等号两侧的方程开始。

代数方程通常要求解未知数；微分方程含未知函数的导数，要求找出满足等式的函数。比如 $y'=3y$ 规定：每一时刻的增长速度都是当前数量的3倍。满足这个规律的y可能有很多条，初始数量不同，后面的曲线也不同。

方程的阶数看最高出现第几阶导数，不看导数被乘了几次。$y''+(y')^3=0$ 最高是二阶导，所以是二阶方程，尽管里面有三次幂。代入一个函数及其导数后，使等式在某区间处处成立，才称它是该区间的解。

通解通常用任意常数描述一族解；给定y(0)=2这样的初值，就进一步筛选出符合起始状态的解。但不同方程可能有特殊解、奇点或不唯一性，不能仅凭“已经积分”就认为所有解都已覆盖。

可分离变量形如 $y'=f(x)g(y)$。在g(y)≠0的分支，把只含y的部分与dy放一起，只含x的与dx放一起：$\frac{dy}{g(y)}=f(x)dx$，再两边积分。它把“两个变量混在一起”改成两边各管一个变量。

除法前必须检查g(y)=0。例如 $y'=y(1-y)$ 有恒为0与恒为1的解；若直接除以y(1−y)，这两条就丢了。解出后再代初值、注明不跨奇点的有效区间，最后对答案求导代回原方程，完成验证。

y'=ky，非零解满足$\frac{dy}y$=k dx，得ln|y|=kx+C，写为$y=C_{1}e^{kx}$。把C₁=0纳入便包含常值零解；k<0表示衰减。

先独立作答；卡住时看提示，完成后再对照解析。

有的方程很容易把x和y分开，例如 $y'=xy$；有的却不行，例如 $y'+2y=x$。第二个式子里既有y的导数又有y本身，直接把它们挪到一边，并不会得到会积分的形式。

可以换个问题：有没有一个式子求导后，恰好同时出现y和y'？乘积 $e^{2x}y$ 的导数就是 $e^{2x}y'+2e^{2x}y$，与原方程左边只差同乘一个 $e^{2x}$。

这个发现提供了一种解法。本节也会介绍另一类只含y与x之比的方程，并说明两种方法怎样区分。

一阶方程不一定能把x和y直接分开，先看它属于哪种结构。一类只通过比值 $\frac yx$ 依赖y，例如 $y'=1+\frac yx$，叫一阶齐次型；另一类y与y'都只一次出现，写成 $y'+P(x)y=Q(x)$，叫一阶线性方程。齐次型指右边可写成y与x之比的函数；线性方程的“齐次”则专指Q(x)=0。二者是不同的分类。

齐次型把比值整体改名u：$u=\frac yx$，即y=ux，要求x≠0。u也随x变化，所以乘积求导得 $y'=u+xu'$。代入 $y'=F(u)$ 后成为 $xu'=F(u)-u$，常能分离变量。若接下来除以F(u)−u，还应检查它为0的常数u，避免遗漏直线解y=ux。

线性方程的目标则是把左边合成一个乘积的导数。找一个非零函数μ，使 $(\mu y)'=\mu y'+\mu Py$；比较乘积法则可知需要μ'=Pμ，所以取 $\mu=e^{\int P(x)dx}$，叫积分因子。

乘完以后，方程变成 $(\mu y)'=\mu Q$，积分一次，再除以μ，得到 $y=\mu^{-1}(\int\mu Qdx+C)$。这条公式每一步都有来由，初学时写出“乘因子—合导数—积分—除回”，比直接默写最终公式可靠。计算在P、Q连续的相应区间进行。

辅助拓展：伯努利式 $y'+Py=Qy^n$（n≠0,1）看着非线性，可在适当非零分支令 $u=y^{1-n}$ 转成线性，除y前仍要检查零解。这是帮助识别换元的补充，不把它另列为新增必修考点。

μ'=Pμ，所以(μy)'=μy'+μPy，刚好合并线性方程左边。这解释了积分因子的选择，而不只是一条要背的公式。

先独立作答；卡住时看提示，完成后再对照解析。

已知车的加速度恒为2，想求它的位置。可以先积分求速度 $v=2t+C_1$，再积分求位置 $s=t^2+C_1t+C_2$，不用一步就猜出最终公式。

原来写成位置的二阶导数 $s''=2$，改用速度 $v=s'$ 后，只需先解 $v'=2$。我们把一个需要两次求导的关系，先改成只含一次导数的关系，这叫降阶。

下面学习怎样根据方程中缺少哪一个量，选择类似的新函数。

二阶方程不一定非要同时处理y、y'、y''。先看式子缺了谁：如果只出现y'和y''而没有y，就先把“速度”y'当新函数p；解出速度以后，再积分找位置。这叫降阶。

最直接的是 $y^{(n)}=f(x)$：连续积分n次。每次积分都加入一个新的任意常数，通常需要n个独立条件确定它们。写同一个C两次会错误地强迫两个常数相等。

不显含y时，$y''=F(x,y')$ 令p(x)=y'，得到 $p'=F(x,p)$。这次p以x为自变量，先解一阶方程，再由y'=p(x)积分一次。例如y''=y'变为p'=p，故p=C₁eˣ，最后 $y=C_1e^x+C_2$。

不显含x时，$y''=F(y,y')$ 可在适合的局部分支把p看成y的函数：p(y)=y'。因为y仍随x变，链式法则给 $y''=\frac{dp}{dx}=\frac{dp}{dy}\frac{dy}{dx}=p\frac{dp}{dy}$。多出来的p不能漏，否则降阶后的方程已经不是原方程。

解出p与y的关系后，还要回到y'=p(y)再求y。若中间除以p，意味着暂时排除了y'=0，所以要检查常值解；若只算到p，还没完成原题。最后代回最高阶导与初值，比只核对积分过程更可靠。

把p看成y的函数且y依赖x，$\frac{dp}{dx}$=($\frac{dp}{dy}$)($\frac{dy}{dx}$)=p $\frac{dp}{dy}$。这是降阶中多出来一个p的原因。

先独立作答；卡住时看提示，完成后再对照解析。

先试一个方程 $y''-y=0$，意思是“一个函数的二阶导数等于它本身”。$e^x$ 求两次导数仍是 $e^x$，所以它满足方程；$e^{-x}$ 求两次导数也回到自身，因此也满足。

把它们相加，或各自乘一个常数后再相加，仍能满足这个方程。例如 $3e^x-2e^{-x}$ 的二阶导数就等于它本身。

接下来说明为什么这些组合能成为解，以及怎样有步骤地找到指数中的数，而不是靠试。

线性方程的每项只含y及其各阶导数的一次倍数，系数可以是已知函数；“齐次”指右端为0。若y₁、y₂都解同一个线性齐次方程，任意常数倍相加仍是解，因为求导和加法能够逐项分配。

二阶方程通常需要两个独立形状来覆盖所有初始状态。例如eˣ和2eˣ只是同一种形状放大，不是两个独立解；eˣ与e²ˣ不能靠固定倍数互相得到，才允许前面的两个常数分别选择。在标准二阶线性方程系数连续的区间，两个线性无关基本解可组成 $C_1y_1+C_2y_2$。

常系数方程 $y''+py'+qy=0$ 特别适合试 $y=e^{rx}$，因为求导只乘r、不改指数形状。代入得到 $(r^2+pr+q)e^{rx}=0$，指数不为0，于是解代数方程 $r^2+pr+q=0$，叫特征方程。

两不同实根r₁、r₂给 $C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}$；如果特征方程的两个根相同，称为重根r，它只给一个指数，需补上x eʳˣ，通解为 $(C_1+C_2x)e^{rx}$；共轭复根α±iβ给实函数 $e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x)$。i满足i²=−1，只是算根时的工具，最后可以写成实三角函数。

若右端不为0，一个特解加任意齐次解仍满足原方程，所以非齐次通解是“齐次通解＋一个特解”。两个非齐次解直接相加会把右端也加倍；它们相减才得到齐次解。初值要代入完整解及其导数。

将$e^{rx}$代入，得到$(r^{2}+pr+q)e^{rx}=0$；指数不为0，故代数方程决定r。重根只有一个指数解，需要$x e^{rx}$补足独立解；可直接代回确认。

先独立作答；卡住时看提示，完成后再对照解析。

上一节的方程 $y''-y=0$ 要求两项相减为0。现在改成 $y''-y=e^x$，就必须找一个函数，使两项相减留下 $e^x$。

直接试 $y=e^x$ 不行，因为相减仍为0。试 $y=xe^x$，求两次导数后相减得到 $2e^x$；再把它除以2，$y=\frac12xe^x$ 就能产生所需的 $e^x$。

这给出了一个符合新要求的解。还可以加上哪些部分、怎样系统地选择试用的形式，是本节要继续解决的问题。

非齐次方程的右端不恒为0。例如 $y''-y=e^x$，要求某个函数的二阶导数减去它本身，恰好等于 $e^x$。求解先找右端为0时的齐次通解，再找一个能响应这个右端的特解，最后相加。

待定系数法利用“求导后形状不会离开同一类”：右端为 $e^{\alpha x}P_m(x)$，Pₘ是m次多项式，就先试 $e^{\alpha x}(A_mx^m+\cdots+A_0)$，代回比较同次幂。常数系数要列全，因为求导会产生低次项，只试最高次一般不够。

若试的形状已经是齐次解，代进去左边恒为0，就不可能匹配非零右端。例如 $y''-y=e^x$ 不能试Aeˣ，应乘x改试Ax eˣ。一般α是特征方程k重根时乘xᵏ；这是为了避开与齐次解重复，而不是随意多乘一个x。

右端有正弦或余弦时，两者通常要一起试，因为求导会相互转换。例如cos x需试A cos x+B sin x，再按α+iβ是否为相应特征根决定是否乘xᵏ。代回后分别比较sin与cos系数，不能只比较某一点的数值。

应用模型也按这个顺序。弹簧方程 $m y''+c y'+k y=F(t)$ 中m是质量、c是阻尼系数、k是劲度系数、F是外力；右端频率与固有振动匹配时，特解可能出现随时间增大的因子，这就是本节例题展示的共振。

先得到通解，再用初始位置、初始速度确定齐次部分的常数；只把初值代进特解，往往根本无法满足两个条件。检查时同时核对原方程和初值。

y''-y=eˣ若试Aeˣ，左边恒0，无法等于右端；因r=1是单根，改试Ax eˣ，代入左边2Aeˣ，故A=$\frac12$。乘x使候选离开齐次解空间。

先独立作答；卡住时看提示，完成后再对照解析。

解 $y''-y=0$ 时，试 $y=e^{rx}$，求两次导数会得到 $r^2e^{rx}$，原方程就变成 $r^2-1=0$。困难从“找函数”变成了“找数r”。

如果方程里出现三阶、四阶导数，同样的尝试会得到r的三次方、四次方。思路没有变，只是需要解更高次数的代数方程。

本节沿用这个办法，再用冷却等具体情境练习：怎样把初始温度、经过时间等数据放进所得的函数。

高阶常系数齐次方程仍然试eʳˣ，只是特征方程从二次变成n次。每个根提供一种指数变化，重复根需要乘x的不同幂，最终总共提供n个独立模式，才能配合n个初始条件。

实根r若重复k次，对应 $e^{rx},xe^{rx},\ldots,x^{k-1}e^{rx}$。例如零根三重给1、x、x²，正好是y'''=0积分三次得到的解族。共轭复根α±iβ各重复k次，则给正弦、余弦各乘x⁰到xᵏ⁻¹，两类合计2k个模式。

写完通解要数独立常数：缺少常数常意味着漏掉重根模式；常数多于阶数则可能重复计算。随后代初值，是解一个普通代数方程组，而不是重新求微分方程。

建模时先问变化的是总量还是差值。牛顿冷却模型假设“温度变化率正比于物体与环境的温差”：$T'=-k(T-T_e)$，k>0，环境温度Tₑ固定。T高于环境时导数为负，低于环境时导数为正，符号体现温度朝环境靠近。

令u=T−Tₑ，变成u'=−ku，得到 $T=T_e+(T_0-T_e)e^{-kt}$，T₀是初温。一次后续观测可定k；温差每隔固定时间减半，不代表温度数值本身减半。若环境温度也变化，应重新列一阶线性方程，不能套固定环境的结论。

最后看长期趋势与单位：k的单位是时间的倒数，−kt应无量纲；t趋无穷时T应趋Tₑ。模型依赖这些简化假设，不是所有实际冷却过程都精确遵守。

令u=T-Tₑ，则u'=-ku，解$u=C e^{-kt}$，故$T=T_{e}+(T_{0}-T_{e})e^{-kt}$。时间趋∞时温度趋Tₑ，可用作方向检查；若符号写反就会远离环境温度。

先独立作答；卡住时看提示，完成后再对照解析。