预备篇：把工具准备好

一支笔2元，买3支要付 $2\times3=6$ 元，买5支要付 $2\times5=10$ 元。买多少支还没决定时，这个算式怎样写？

可以先用字母x代表支数，价钱就写成 $2\times x$，通常简写为 $2x$。这里的x不是一种新运算，只是替某个数占着位置。确定买3支后，把x换成3，就又回到了 $2\times3$。

接下来从这种“把字母换成数”的做法出发，学习怎样读含字母的算式，以及哪些地方可以化简。

字母可以代表不同的数。$2x$ 是 $2\times x$ 的简写；$x^2$ 读“x的平方”，表示 $x\times x$。取x=3，前者是6，后者是9。右上角的2不是“乘2”，它记录有两个x相乘。

负号的位置也要读清。$(-2)^2$ 表示两个−2相乘，结果是4；$-2^2$ 表示先算2的平方，再取负数，结果是−4。括号把哪些数放在同一步运算里，会影响答案。

像−2、0、二分之一这样能在数轴上表示的数，统称实数。本课程没有特别说明时，就在实数范围计算。“非负”指大于或等于0，“非零”指不等于0。这些词只是把一段话写短。

分数横线的上面叫分子，下面叫分母。$\frac ab$ 就是a除以b。分母不能为0：例如 $\frac30$ 若等于某个数，这个数乘0就应得到3，但任何数乘0都是0。$\frac00$ 也不能确定一个答案，因为任何数乘0都得到0。

约分要把整个分子、整个分母同除以一个不为0的数。例如 $\frac{6\times5}{6}=5$；把6换成不为0的x，同样有 $\frac{x(x+1)}x=x+1$。但是 $\frac{x+1}x$ 的分子是x加1，没有整个乘着x，不能把两个x直接划掉。

把分数换成相同分母，叫通分。例如二分之一等于六分之三，三分之一等于六分之二，所以 $\frac12+\frac13=\frac36+\frac26=\frac56$。

有时要先把加减算式改成相乘，才能约分。例如 $x^2-1=(x-1)(x+1)$，右边的两个括号是相乘的两部分，叫因式。这种改写叫因式分解；反过来把括号乘开，叫展开。下一段会把乘开的每一步写出来。

$\sqrt9$ 读“根号9”，问的是“哪个非负数平方后等于9”，答案是3。方程 $x^2=9$ 却允许x为负数，因此3和−3都是答案。于是 $\sqrt{x^2}$ 总给出x的非负大小，记为 $|x|$，叫绝对值；例如 $|-3|=3$、$|3|=3$。

分配律把乘法分给括号中的每一项：$(x-1)(x+1)=x^2+x-x-1=x^2-1$。从左到右叫展开，从右到左叫因式分解。于是 $\frac{x^2-1}{x-1}=x+1$，但这一步保留条件 $x\ne1$。化简不能把原式不允许的输入重新放回来。

先独立作答；卡住时看提示，完成后再对照解析。

一张优惠券要求消费金额不少于20元，但必须小于50元。花19元不能用，20元能用，49元能用，50元又不能用。符合要求的不是某一个金额，而是从20到50之间的一整段金额。

把金额记为x，这两条要求写成 $x\ge20$ 和 $x<50$。合在一起是 $20\le x<50$，还可以简写成 $[20,50)$。左边的方括号表示20可以取，右边的圆括号表示50不可以取。

数学里经常要找这样的数值范围。本节先学会读范围，再处理“几条要求必须同时满足”的情况。

方程是在问“哪个数放进去，等号能成立”。例如 $x+1=3$，把等号两边都减1，就得到x=2。解方程，就是找出所有这样的数。

不等式把等号换成大小关系。$x+1<3$ 表示“一个数加1以后仍小于3”，两边减1得到 $x<2$。这一次答案有很多：1、0、−5都可以，而2不可以。

两边乘或除负数时，大小号要反过来。例如 $1<2$，同乘−1得到 $-1>-2$。所以 $-2x>6$ 两边同除以−2，得到 $x<-3$。如果要除的是x，就必须先知道x是正、是负，还是0。

“集合”指把符合某个要求的数放在一起。“区间”是其中一类连续的范围：$[1,3)$ 表示从1开始、到3之前的所有实数，即 $1\le x<3$。方括号表示这个端点可以取，圆括号表示不能取。$+\infty$ 读“正无穷”，表示向右没有尽头；它不是一个能取到的最后数字，旁边只能写圆括号。

两条要求同时成立时，只留下共同符合的数。例如“至少20”和“小于50”共同留下 $[20,50)$。取共同部分叫交集，符号是 $\cap$。如果两条要求满足一条就行，就把两边的合格数合起来，叫并集，符号是 $\cup$。这两个符号分别对应“并且”和“或者”。

例如要求 $x\ge1$，同时 $x\ne2$：先留下从1开始的所有数，再把2删掉，结果断成两段 $[1,2)$ 和 $(2,+\infty)$。最终答案写 $[1,2)\cup(2,+\infty)$，表示数落在任一段都可以。条件之间要求同时满足，答案却可以分成几段，并不矛盾。

绝对值也能用来写范围。$|x-1|$ 表示数轴上x离1有多远。$|x-1|\le2$ 就是离1不超过2：从1向左到−1、向右到3，得到 $[-1,3]$。若距离大于2，则只能在这段范围的外面，即 $x<-1$ 或 $x>3$。

对 $-2x>6$ 两边同除以-2，数轴左右方向被反转，得到 $x<-3$。对 $(x-1)(x+2)>0$，乘积为正意味着两因子同号：x<-2或x>1，中间一正一负不符合。

先独立作答；卡住时看提示，完成后再对照解析。

一本本子3元。买1、2、3本，分别花3、6、9元。如果想把“买多少”和“花多少”同时画在纸上，可以横着标本数，竖着标价钱。

买2本花6元，就在横向标到2、竖向标到6的位置画一个点，记为 $(2,6)$。括号中第一个数说明横向位置，第二个数说明竖向位置。把其他购买情况也画出来，就能直接看到：本数越多，价钱越高。

下面把这个画法用于连续变化的数。它会让算式里的大小变化变得看得见。

把“输入2，输出5”记成点 $(2,5)$：先沿横轴走到2，再沿竖直方向找到高度5。函数图像把每一个允许输入及其输出都标成点。它不是几个点的随意连线；遇到不允许的输入，例如分母为0，不能把空缺补成实心点。

读图时先问三件事：横向允许哪些位置，这是定义域；图上出现过哪些高度，这是值域；从左往右走时高度怎样变化，这是变化趋势。输入和输出范围分别读，不能交换。

直线 $y=2x+1$ 在x=0时高1；x每增加1，y就增加2。一般式 $y=kx+b$ 中，b叫纵截距，k叫斜率，即“纵向变化除以横向变化”。负斜率表示向右走时下降；零斜率表示水平。竖直线横向变化为0，没有有限斜率。

理解平移可以追踪一个熟悉的点。$y=x^2$ 的最低点在x=0；换成 $y=(x-2)^2$ 后，括号要等于0就必须x=2，所以最低点右移2。外面再加1，所有输出增1，最低点成为 $(2,1)$。这就是“内减右移、外加上移”的原因，不必只背口令。

画陌生图先列定义域，标出过轴点或最低点，再算左右各一两个点。图像帮助猜测性质；要求证明时，仍要用代数或后面的导数说明。

直线过 $(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$，且 $x_1\ne x_2$，斜率 $k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$。过定点且斜率给定的直线写作 $y-y_1=k(x-x_1)$。竖直线x=c没有有限斜率，不能硬套这个公式。

先独立作答；卡住时看提示，完成后再对照解析。

一张纸每对折一次，层数就变成原来的2倍：对折一次是2层，两次是4层，三次是8层。三个2相乘写成 $2^3=8$，右上角的3记录相乘的2有几个。

现在反过来问：已经有8层，对折了几次？答案是3次。数学把“2的几次方等于8”记成 $\log_2 8=3$，读作“以2为底8的对数是3”。它问的仍是刚才那个问题，只是换了一种写法。

从这里开始理解指数和对数，再学习它们怎样计算、哪些数不能放进去。

指数与对数在问相反的问题：$2^3=8$ 已知“乘几次”，求结果；$\log_2 8=3$ 已知结果8，问“2的几次方”。一般地，$\log_a b=t$ 就是 $a^t=b$，对数的输出是指数t。

为什么规定 $a>0$ 且 $a\ne1$？正底数才能把指数连续地扩展到实数；底数1无论怎样乘都为1，不能反查出唯一指数。正底数的实数次幂始终为正，所以真数b必须大于0。$\ln x$ 只是 $\log_e x$ 的简写，$e\approx2.718$，不是新的一种运算。

先用整数指数理解法则：$2^3\cdot2^2=2^5$，因为共有五个2相乘。这扩展为 $a^{u+v}=a^ua^v$。反过来取对数，乘法就对应加法：正数u、v满足 $\ln(uv)=\ln u+\ln v$。例如 $\ln2+\ln3=\ln6$，不是ln5。

看增长方向也可以代几个数。$2^x$ 在x=0、1、2时依次为1、2、4，向上增长；$(\frac12)^x$ 则为1、二分之一、四分之一，向下衰减。一般底数大于1时递增，介于0和1时递减，对数作为反向规则也有相同的单调方向。

最后分清 $x^3$ 与 $3^x$：前者改变底数，后者改变指数；数值规律和后面的导数都不同。遇到对数方程，先写真数为正，再改写成指数方程，最后代回检查。

令$u=e^s$、$v=e^t$，则$uv=e^{s+t}$，取对数得到 $\ln(uv)=s+t=\ln u+\ln v$。所以乘积的对数可以拆成两个对数之和；和的对数则没有这个公式。

先独立作答；卡住时看提示，完成后再对照解析。

在纸上画一个圆，圆心记为0，把半径规定为1。圆最右边的点横坐标是1、纵坐标是0；沿圆转四分之一圈到最上边，横坐标就变为0、纵坐标变为1。

转动的角度决定了点的位置。为了简短地记录这个关系，把“这个角度对应的横坐标”叫余弦，写cos；把“这个角度对应的纵坐标”叫正弦，写sin。先记住它们是在记录位置，不必马上背公式。

接下来用这一个圆说明角的写法、sin与cos的取值，以及常用关系为什么成立。

先想一个半径为1的圆，圆心在原点。点从 $(1,0)$ 出发逆时针转动，转角记x；它的横坐标叫 $\cos x$，纵坐标叫 $\sin x$。例如转四分之一圈来到 $(0,1)$，所以此角的cos为0、sin为1。

角可以用度数，也可以用弧度。弧度是“走过的弧长除以半径”，因此整圈为 $2\pi$ 弧度，半圈为 $\pi$，四分之一圈为 $\frac\pi2$。后面的导数和重要极限默认弧度；把30度直接当输入30，会得到另一个角。

圆上点满足横坐标平方加纵坐标平方等于1，于是 $\cos^2x+\sin^2x=1$。正切定义为 $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$，像一条射线的“竖向变化除横向变化”；横坐标cos为0时不能计算。

转完整圈回原位置，所以sin、cos每隔 $2\pi$ 重复。把角x改为−x相当于反方向转：横坐标不变、纵坐标变号，因此cos为偶、sin为奇。周期性和对称性是从同一个圆上读出的两种规律。

反过来给定sin值，角通常不唯一，例如 $\sin\frac\pi6=\sin\frac{5\pi}6=\frac12$。为了让arcsin只给一个答案，约定输出在 $[-\frac\pi2,\frac\pi2]$；arccos输出在 $[0,\pi]$，arctan在 $(-\frac\pi2,\frac\pi2)$。这些约定决定了反三角函数不能无条件与原函数“抵消”。

和角公式给出 $\sin(2x)=2\sin x\cos x$ 与 $\cos(2x)=1-2\sin^2x=2\cos^2x-1$。移项得到 $\sin^2x=\frac{1-\cos2x}{2}$。后面遇到平方积分时，这个公式可以把“平方”变成“倍角”。

先独立作答；卡住时看提示，完成后再对照解析。

12能被4整除，也能被2整除；8也是这样。“能被4整除的整数，一定能被2整除”这句话是对的，因为4本身就是2的倍数。

把话倒过来呢？6能被2整除，却不能被4整除。可见，“由前一句能推出后一句”，并不表示后一句也能推出前一句。

以后看到定理，首先要分清它从什么条件出发、保证什么结果。本节再给这两种关系加上数学里的名称和符号。

“如果能被4整除，那么能被2整除”写作 $A\Rightarrow B$。A代表前一个条件，B代表后一个结论。箭头只准从A走向B；6满足B却不满足A，说明不能把箭头反着读。

为什么叫充分和必要？A一成立就足够保证B，因此A是B的充分条件；若A成立，B这项一定不能缺，因此B是A的必要条件。两边都能推出时写 $A\Leftrightarrow B$，叫充分必要条件，简称充要条件。

一个实用的反向推理是：如果连B都不成立，A也不可能成立。例如7不能被2整除，就不可能被4整除。这叫逆否推理，它保留原箭头的逻辑；“B成立所以A成立”则没有这种保证。

“所有”和“存在”决定了证据需要多强。要证明所有实数都有 $x^2\ge0$，不能只试1、2、3；但要否定“所有实数都有 $x^2>0$”，只要拿出x=0一个反例。“存在一个”只要求找到一例，不能擅自说每个都可以。

读求和时，把符号展开就不神秘：$\sum_{k=1}^3k^2=1^2+2^2+3^2$，k是依次改变的编号。$a_n$ 是排在第n位的数，$a^n$ 是n次幂。阶乘 $n!=1\cdot2\cdots n$ 是连续乘积，规定 $0!=1$，不是感叹号。

以后使用定理，先写“已知什么”，再写“要得到什么”，逐条核对条件是否齐全。例如证明“任意偶数的平方都是偶数”，可令这个偶数为2k，则平方为4k²，仍是2的整数倍；仅列举2、4、6的平方不能覆盖所有偶数。

若“所有满足A的对象都满足B”，A对应的范围包含在B的范围内。这个包含关系不允许把B中的对象全部反推回A。比如4的倍数属于2的倍数，但6只在后一个范围。

先独立作答；卡住时看提示，完成后再对照解析。