多元函数微分

同一时刻，山脚和山顶的温度可能不同；同一高度，向东和向西的位置也可能不同。只报一个数往往不够，要同时说清平面上的两个位置坐标x、y，才能确定那里的温度。

于是原来“给一个x，得到一个y”的规则，变成“给一对x、y，得到一个结果z”，写成 $z=f(x,y)$。

靠近地图上的一个点，可以从东、西、南、北，也可以沿弯路靠近。本节要说明：两输入函数的极限为什么不能只检查某一条路。

一元函数像沿一条路记录高度，输入只需一个坐标；二元函数 $z=f(x,y)$ 像一张地形图，东西位置x和南北位置y共同决定高度z。它的定义域是平面上的点集，而不再只是一段数轴。

例如 $\sqrt{1-x^2-y^2}$ 要求 $x^2+y^2\le1$，允许区域是含边界的圆盘。分别写|x|≤1、|y|≤1还不够：角落 $(1,1)$ 满足这两条，却不在圆内。条件涉及两个变量时，要检查它们的共同组合。

靠近点 $(a,b)$ 用距离 $r=\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}$ 衡量。r趋0意味着平面点真的靠近目标；二元极限要求无论从哪条合法路径靠近，输出都趋同一个L。除了左右、上下，还能走斜线、曲线，所以只检查两条坐标轴不够。

否定极限只需找到两条路径得到不同目标。例如 $\frac{xy}{x^2+y^2}$ 沿y=0为0，沿y=x为二分之一，因此原点极限不存在。两轴恰好同为0，只说明两条路同意，不能代表所有路。

证明存在则要能一次控制所有路径。例如 $|xy|\le\frac{x^2+y^2}{2}=\frac{r^2}{2}$，只要r小，右边就小，不管从哪边来。这样统一夹逼才足够。连续性仍是“极限等于点值”：若附近趋0却把原点补成7，就有极限但不连续。

对f=xy，有 $|xy|\le\frac{x^2+y^2}{2}=\frac{r^2}{2}\to0$，估计不依赖路径，所以在(0,0)极限为0。它比逐条试路径更强，因为一次控制了所有方向。

先独立作答；卡住时看提示，完成后再对照解析。

一个长方形长3米、宽2米，面积6平方米。只把长增加0.1米，面积增加0.2平方米；只把宽增加0.1米，面积增加0.3平方米。同样增加0.1，改哪条边得到的变化不同。

所以面积 $A=xy$ 的变化可以分开问：宽先不动，只增加长，会怎样？长先不动，只增加宽，又会怎样？这两种变化率分别叫对x、对y的偏导数，“偏”表示这一次只让其中一个输入变化。

如果长和宽同时增加，就还需要把两方面的变化合起来，判断这样的近似有多准确。

站在山坡某点，固定南北位置y、只向东西移动x，测得的变化率叫x偏导，记fₓ或 $\frac{\partial f}{\partial x}$。符号∂提醒这是只让一个输入变化。对 $f=x^2y$，固定y后它是常系数，故fₓ=2xy；固定x求y偏导则为fᵧ=x²。

偏导再求一次得到二阶偏导。fₓₓ是先对x再对x，fₓᵧ是先对x再对y；本课以下标顺序记录操作。若混合偏导在邻域连续，两种顺序相等；只有在一个点算得出两个值，不足以直接使用交换定理。

两个偏导只看了两条坐标方向，全微分要预测任意方向的小变化：$dz=f_xdx+f_ydy$。它相当于用一张平面贴住曲面。可微要求实际增量减去这份线性预测后的误差，比移动距离 $r=\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}$ 更小一阶，即误差除以r趋0。

因此 $\Delta z=f_x\Delta x+f_y\Delta y+o(r)$ 才是可微定义，不能只写出两个偏导就宣布可微。可以把 $\frac{xy}{x^2+y^2}$ 在原点补0：沿两轴恒0，两个偏导都为0；沿斜线却不趋0，连连续都没有，当然无法用平面贴住。

关系顺序是：可微保证连续并有偏导；有偏导不保证连续或可微。实际做题常用更方便的充分条件：两个一阶偏导在附近存在，并在目标点连续，那么该点可微。算全微分时先求偏导，再代点，最后乘dx、dy。

f=x²+y²在(a,b)的增量为2aΔx+2bΔy+(Δx²+Δy²)。余项除以r得到r→0，因此可微，全微分2a dx+2b dy。余项检查说明可微不只是写出两个偏导。

先独立作答；卡住时看提示，完成后再对照解析。

长方形的长x、宽y都随时间变。过了一小段时间，面积增加可能来自长变长，也可能来自宽变宽；通常两部分都有。

面积是 $A=xy$。在某一刻，长增加得多快，就乘当时的宽；宽增加得多快，就乘当时的长，再相加，得到 $\frac{dA}{dt}=y\frac{dx}{dt}+x\frac{dy}{dt}$。

这就是把两条变化关系接到同一个结果上。下面把长方形推广到一般的两输入函数，并说明怎么追踪每一条变化路径。

假设温度z由位置x、y决定，人走动时两个位置又都随时间t变。温度变化有两条来源：东西移动带来的变化，以及南北移动带来的变化。所以 $\frac{dz}{dt}=f_x x'+f_y y'$：每条路径把“温度对位置的变化率”和“位置对时间的变化率”相乘，再把贡献相加。

可以在草稿上画依赖关系：t同时指向x和y，x与y再指向z。任何从t到z的路径都不能漏。若x、y改为依赖u、v，求zᵤ时固定v，仍为 $z_u=f_xx_u+f_yy_u$，外层偏导在实际的x(u,v)、y(u,v)处取值。

二阶导不能把fₓ、fᵧ当成常数。沿路径继续求一次，例如二阶偏导连续时 $z''=f_{xx}(x')^2+2f_{xy}x'y'+f_{yy}(y')^2+f_xx''+f_yy''$。前面三项来自外层坡度变化，后面两项来自行走路径加速度。初学时先逐项链式求导，再合并，比直接套长公式稳妥。

隐函数则用“等式始终成立”约束变化。若 $F(x,y,z(x,y))=0$，固定y对x求导，就有 $F_x+F_z z_x=0$。在附近一阶偏导连续且F_z≠0等隐函数定理条件下，得到 $z_x=-\frac{F_x}{F_z}$，同理 $z_y=-\frac{F_y}{F_z}$。

求二阶隐导数时，刚才得到的z也随x、y变，分母及各偏导必须继续用链式法则。若F_z=0，不能硬除；要另查能否改解其他变量，或该点是否根本没有所求光滑函数。

全微分dz=fₓdx+fᵧdy，代入dx=x'dt、dy=y'dt便得到一参数链式。对F(x,y,z(x,y))=0求x偏导，得到Fₓ+F_z zₓ=0，因此隐式公式成立。

若所需二阶偏导连续，对同一参数再求导并合并混合项，得到 $z''=f_{xx}(x')^2+2f_{xy}x'y'+f_{yy}(y')^2+f_x\cdot x''+f_y\cdot y''$。前面三项来自外层偏导的变化，最后两项来自内层路径自身的加速度。以下例题1中二阶导为2+12t²，可以先代入后求两次导数独立核验。

先独立作答；卡住时看提示，完成后再对照解析。

看表达式 $x^2+y^2$：无论x、y怎样取，两个平方都不会是负数；只有两者都为0时，结果才为0。因此 $(0,0)$ 是最低的位置。

换成 $x^2-y^2$，沿y=0走，得到x²，原点看起来最低；沿x=0走，却得到−y²，原点又变成最高。同一个点，沿不同方向看到的情况可能相反。

因此判断两个输入函数的极值，要照顾周围所有方向。只沿一条路检查不够，本节会给出可操作的判断办法。

地形上的最低点要比周围所有方向都低，不能只沿东西方向看。若f在区域内部可微并有极值，那么沿x、y方向都不能仍在单向升降，所以必须fₓ=fᵧ=0。解这两个方程得到驻点，但它们仍只是候选。

在驻点处，用 $A=f_{xx}$、$B=f_{xy}$、$C=f_{yy}$ 记录二阶弯曲，设 $D=AC-B^2$。若二阶偏导在附近连续，D>0且A>0表示各方向都向上弯，是极小；D>0且A<0是极大；D<0表示有方向上升、有方向下降，像马鞍，叫鞍点。D=0时二阶信息不足，不能直接说没有极值。

一个不靠记表的检查是配方。$x^2+y^2$ 在原点周围只能非负，是极小；$x^2-y^2$ 沿x轴增、沿y轴减，是鞍点。二阶判别是在更一般函数附近识别这两种二次主部。

加约束后，问题变成“只沿允许的路比较”。例如在圆上求xy最值，不能朝圆外走。若约束g=0足够光滑且 $(g_x,g_y)\ne(0,0)$，候选点满足 $\nabla f=\lambda\nabla g$，连同g=0一起解。∇读纳布拉，$\nabla f=(f_x,f_y)$ 是把两个偏导排成向量；λ只是待求的辅助系数。它表达两者法向方向平行，也就是沿约束切向的一阶变化为0。

乘子法只找候选，仍须比较函数值。约束梯度同时为0的特殊点不能用公式排除，需另查；求闭有界区域上的最值，还要检查全部边界与角点。连续性保证最值存在，但不保证在内部驻点取得。

在驻点处一阶项消失，设小位移为(h,k)，函数增量的二次主部为 $\frac12(Ah^2+2Bhk+Ck^2)$。先理解这个式子的正负，就能理解二阶判别。

A≠0时配方为 $\frac12[A(h+\frac BAk)^2+\frac DAk^2]$，其中D=AC−B²。D>0时，两个平方项系数同号，都由A决定，因此形成向上的碗或向下的碗；连续二阶导保证更高阶误差不会推翻足够近处的严格符号。

D<0且A≠0时，沿k=0与沿 $h=-\frac BAk$ 可取得相反符号；如果A=0，D<0意味着B≠0，此时固定非零k再选不同h，交叉项也能让二次式取正取负。因此D<0是鞍点。

D=0会留下一些方向的二次项为0，高阶项可能决定最终形状，所以这条判据不能作答，要回到原函数或继续分析。

先独立作答；卡住时看提示，完成后再对照解析。