积分的应用

长方形面积是宽乘高。如果上边是一条曲线，每个位置的高度都不一样，就不能只选一个高度乘总宽。

可以把区域切成很多很窄的竖条。每条的宽记为dx，高由所在位置的曲线决定，于是“小条面积≈高×dx”。把小条加起来，再让它们越来越窄，就得到区域面积。

体积也是同样的做法：先确定薄薄一片的截面面积，再乘厚度。难点往往是选哪种小片，而不是最后的积分计算。

面积公式不是从“积分什么”猜出来，而是先画一条小条。例如竖着切区域，小条宽dx，高是上边界减下边界，因此 小条面积等于“上方高度减下方高度，再乘dx”；横着切则宽为右减左、厚度dy。上下关系途中交换，必须分段，才能保证面积没有正负抵消。

例子y=x与y=x²：先解交点x=x²得到0、1，再在中间取x=二分之一，发现直线在上，所以积x−x²。这一步先判断谁在上，不能仅按题目给出的先后顺序相减。

体积多一层：沿x切薄片，已知垂直x轴的截面积S(x)，薄片体积近似S(x)dx，累加为 $V=\int S(x)dx$。若绕x轴旋转，截面是圆盘或圆环，面积为 $\pi(R^2-r^2)$，R、r都表示到旋转轴的非负距离。

圆柱壳是另一种切法：平行旋转轴的细条旋转后，体积近似“周长×高度×厚度”。绕y轴时把高度记为h(x)，常写 $2\pi\int xh(x)\,dx$，这里要处在x≥0且没有重复覆盖的情形；若区域跨轴，须先检查是否把同一壳重复计算，不能只加绝对值就结束。

极坐标用半径r和角度θ表示位置。一小扇形占整圆的 $\frac{d\theta}{2\pi}$，面积是 $\frac12r^2d\theta$，所以由一条射线从原点扫到边界时面积为 $\frac12\int r^2d\theta$。若有内边界，和圆环一样减去内半径平方，并确认角度不会重复扫过同一区域。

判断列式是否合理，可以查单位：面积是长度平方，体积是长度立方。半径不能直接当截面积，dx也不能在计算时忘掉。

小圆柱体积=截面积×厚度，累加取极限即体积公式。极坐标小扇形占整圆$\frac{d\theta}{2\pi}$，面积πr²×$\frac{d\theta}{2\pi}$=$\frac{r^2}2\,d\theta$。两种推导都从几何小量出发。

先独立作答；卡住时看提示，完成后再对照解析。

走一段弯路，实际走过的路通常比起点到终点的直线长。若把弯路分成许多很短的小段，每小段都近似直线，就可以把这些小直线的长度相加。

一小段横着走了dx、竖着走了dy，用勾股定理，它的长度近似为 $\sqrt{dx^2+dy^2}$。分得越细，这种近似越准确。

下面把这个小段长度写成能积分的形式，再看曲线绕一条轴旋转后，怎样累计出它的侧面积。

弯曲铁丝的长度不是它的水平投影。取一小段，横向变化dx、竖向变化dy，用直线近似后勾股长度为 $ds=\sqrt{dx^2+dy^2}=\sqrt{1+y'^2}\,dx$（按x递增积分）。ds表示沿曲线走的长度，通常比dx大。

因此y=f(x)在 $[a,b]$ 上分段光滑时，弧长为 $\int_a^b\sqrt{1+y'^2}dx$。若参数t给出x、y，改用 $ds=\sqrt{x'^2+y'^2}dt$；若极坐标r=r(θ)，则为 $ds=\sqrt{r^2+(r')^2}d\theta$。每个公式里的导数都对当前变量求，不能混用。

参数区间还决定有没有重复走。半径R的圆在t从0到 $2\pi$ 时走一圈，从0到 $4\pi$ 时走两圈；积分会忠实累计两圈的路程，不会自动去重。

曲线绕x轴旋转的侧面积可以想成很多窄圆台带，每带面积近似“圆周长×斜长”，所以 $S=2\pi\int |y|\,ds$；绕y轴则用|x|作半径。这里用ds而不是dx，是因为累加的是倾斜表面，不是水平厚度。它与体积的圆盘公式完全不同，半径也必须非负。

积分平均值另问一件事：一段范围内的总量平均分到每单位长度是多少？答案为 $\frac1{b-a}\int_a^b f(x)dx$。只有特殊函数才等于两端值的平均；例如x²在0到2的平均值是三分之四，而不是两端0和4的平均2。

一小段斜线旋转形成窄圆台，其侧面积近似周长2πr乘斜边长ds，累加得到2π∫r ds。体积用厚度dx，侧面积用斜长ds，两者因此不同。

先独立作答；卡住时看提示，完成后再对照解析。

拉弹簧时，刚开始只需很小的力，越拉长越费力。如果一路所需的力都不同，用最后那一下的力乘整个拉长距离，就会把前面算得太多。

可把拉长过程分成很短的小段。每段近似用“这一段的力×这一段的距离”计算功，再加起来。功是力沿移动方向推动或阻碍物体时所对应的量，不能只把力的大小相加。

水压力、引力和质心也能这样分小份处理，但每种题累加的量不同。下面逐项说明各个字母和单位。

物理积分仍是先算一小份，再累加，但要先确认这一小份是什么量。只背一个积分符号，常会把力、压强、功和质量混在一起。下文统一采用米、千克、秒等配套单位，力用牛顿、功用焦耳。例如距离若给厘米，要先换成米再代入。

功：物体沿x方向移动dx，力在该方向的分量为F(x)，小段功为F(x)dx，总功 $W=\int F(x)dx$。弹簧从伸长0到a，力为kx，会逐步增大；用最终力ka乘全程a会高估，正确积分是 $\frac12ka^2$。力与运动相反时，功可为负。

液体压力：深度h处压强 $p=\rho gh$，ρ是液体密度，g是重力加速度。压强是每单位面积的受力，不是整板总力。宽度w(h)、高度dh的小条面积为w(h)dh，所以小条受力 $\rho ghw(h)dh$，再沿深度累加。深度从液面算，不能任意把板上边当深度0。

引力：质量m与微小质量dm相距r时，引力大小是 $\frac{Gm\,dm}{r^2}$，G为引力常数。若求某方向合力，还要乘该力与指定方向夹角的余弦。对称位置的横向分量可能抵消、纵向分量相加；不能把每个力的大小直接相加当矢量合力。

质心：先用两点质量理解，较重的一端应把平衡位置拉向自己，所以位置取“质量加权平均”。细杆线密度λ(x)表示每单位长度的质量，小段质量为λ(x)dx；总质量 $M=\int\lambda(x)dx$，质心 $\bar x=\frac{\int x\lambda(x)dx}{M}$，要求M>0。分子是带坐标的力矩，可能为0；这并不代表分母质量为0。

列式后用单位和方向自检：功应为力乘长度，压力应为力，质心应在正质量杆的范围内。平面薄片把小段换成小面积，将在二重积分中继续使用同样思想。

弹簧力F=kx，拉长从0到a所做功∫₀ᵃkx dx=$\frac{ka^2}2$。若误用末端力ka乘全程a，会高估一倍，因为前半程所需力更小。

先独立作答；卡住时看提示，完成后再对照解析。