定积分与反常积分

水龙头向空桶注水。第一分钟每分钟流入2升，第二分钟每分钟流入3升，这两分钟一共流入 $2\times1+3\times1=5$ 升。

如果流速一直在变化，就把时间分得更短：例如每10秒记录一次流速，把“这一小段的流速×这一小段的时长”作为注水量的近似，再全部相加。分得越细，就越能反映期间的变化。

定积分把这个不断细分、不断累加的过程写成数学形式。图中的小矩形，高表示当时的流速，宽表示这一小段时间。

物体沿一条直线运动时，若速度恒定，“速度×时间”给出位移。速度变化时，先把时间分成很短的小段，每段近似按恒定速度计算位移，再相加。若要求路程，要把速度换成其绝对值后累计。定积分就是让小段越来越细以后，这种累计的极限。

把 $[a,b]$ 分成小段，第i段宽度记 $\Delta x_i$，在里面挑一个点 $\xi_i$ 作代表，近似贡献为 $f(\xi_i)\Delta x_i$。把所有贡献相加，当最宽的那段也趋0时，若结果不依赖分法、选点而趋同一个数，就记作 $\int_a^b f(x)dx$。dx提醒每个高度还要乘宽度，不能只把函数值相加。

当f≥0，图上是小长方形面积的累加；f<0的部分给负贡献，所以一般定积分是带符号累计量，不总是几何面积。若要算总路程而速度可能为负，应积速度的绝对值；只积速度得到位移。

连续函数在闭区间上可积；有界且只有有限个间断点也可积。普通定积分可积一定有界，但有界本身不够保证可积；若出现无穷区间或无界高度，后面要用反常积分另作定义。

积分可按区间拼接，也可把被积函数的和分开积，常系数可提出。调换上下限变号。如果区间上 $m\le f\le M$，每个小长方形都夹在两个固定高度之间，所以 $m(b-a)\le\int_a^b f\le M(b-a)$。另有 $|\int_a^b f|\le\int_a^b|f|$，因为先正负抵消再取大小，不会比完全不抵消更大。

当f连续，平均高度 $\frac1{b-a}\int_a^b f$ 必定是某处实际高度f(ξ)，这叫积分中值定理。它不告诉ξ在哪里，也不说ξ一定在中点；先理解“总量除以区间长度”等于平均水平。

对[0,1]分n等份，取右端点$\frac kn$，x的和为 $\sum_{k=1}^n\frac{k}{n}\frac{1}{n}=\frac{n+1}{2n}\to\frac{1}{2}$，与三角形面积一致。Δx=$\frac1n$不能漏掉。

先独立作答；卡住时看提示，完成后再对照解析。

继续看注水：假设每一时刻的流速都知道，从0分钟开始到t分钟，一共流入多少水，就要把这段时间的注水量累加起来。

当t再增加一点，总水量也增加一点；这段很短时间里，总水量增加得多快，正是当时的流速。也就是说，“累计起来”以后再求变化率，会回到原来的流速。

这个联系使我们不必每次都真的切出无数小块。找到原函数后，用终点的值减起点的值，就能计算连续函数的定积分。

把起点a固定，终点x移动，$A(x)=\int_a^x f(t)dt$ 就是一份不断累积的总量。t是积分变量，计算时在a到x之间取值；x是上限，决定累计到哪里。积分完成后结果不再含t，却可能随x变化。f给定且上下限都固定时，定积分的结果是一个数。

为什么A的导数是f？终点从x向右挪一个很小的h，多出来的是一条宽h、高度接近f(x)的细带，贡献接近f(x)h。除以h得到平均增长率，再令h趋0，连续性保证结果为f(x)。因此f连续时 $A'(x)=f(x)$。

这使积分和原函数接通：如果F'=f，F与A只差常数，两端相减常数消失，于是 $\int_a^b f(x)dx=F(b)-F(a)$，叫牛顿—莱布尼茨公式。必须是“上限代入减下限代入”，不能只代上限，也不需要在最后加C。

若上限是x²，终点移动速度不再是1，链式法则给 $[\int_a^{x^2}f(t)dt]'=2x f(x^2)$。若下限也移动，它切掉一段累计量，带负号：$[\int_{u(x)}^{v(x)}f(t)dt]'=f(v(x))v'(x)-f(u(x))u'(x)$。这里被积函数只依赖积分变量t；若里面还独立含x，不能直接照抄。

定积分换元时，函数、微分、上下限都改成新变量。例如u=x²，x从1到2对应u从1到4；用u积分就代1与4，若先换回x才代原来的1与2。分部积分同样要保留端点项 $[uv]_a^b$，再减剩余定积分。

$\frac{A(x+h)-A(x)}{h}=\frac{1}{h}\int_x^{x+h}f(t)dt$，是短区间平均高度；连续性使h→0时平均高度趋f(x)。A和任一原函数F相差常数，代两端相减得到基本公式。

先独立作答；卡住时看提示，完成后再对照解析。

把一条纸带分成面积为二分之一、四分之一、八分之一等越来越小的块。虽然块数可以一直增加，总面积却不会因此无限大：前两块是四分之三，前三块是八分之七，越来越接近1。

这提醒我们：范围很长，甚至没有尽头，也不能只凭“无限”两个字判断总量无限大。还要看每一部分怎样变小。

遇到积分区间伸向无穷远时，可以先算到一个有限位置R，再让R不断增大，观察累计结果。若结果趋于有限数，就称这个反常积分收敛。

普通定积分默认区间有限、被积函数有界。若积分区间延伸到无穷远，或被积函数在某处无界，就需要改用极限。例如先在[1,R]上积分，再让R趋于正无穷；若积分值趋于有限数，就把这个数定义为相应反常积分的值。

无限区间先截到R：$\int_a^{+\infty}f(x)dx=\lim_{R\to+\infty}\int_a^R f(x)dx$。例如高度 $\frac1{x^2}$ 在远处降得够快，1到无穷的累计量是1；高度 $\frac1x$ 降得较慢，累计量不断增长，发散。无限长不自动等于无限面积。

若问题出在左端a，把它避开一点ε：$\lim_{\varepsilon\to0^+}\int_{a+\varepsilon}^b f(x)dx$。例如 $\frac1{\sqrt x}$ 在0虽无界，0到1的反常积分仍等于2。这次考察的是靠近奇点的增长快慢，不能把无穷远的直觉照搬。

两组标尺的方向正好不同：$\int_1^{+\infty}\frac1{x^p}dx$ 在p>1时收敛；$\int_0^1\frac1{x^p}dx$ 在p<1时收敛。p=1两者都发散。记不住就用原函数 $\frac{x^{1-p}}{1-p}$ 分别看无穷端与0端，而不是硬背一个“p大就收敛”。

若有多个使函数无界的端点或区间内的位置，必须拆开分别收敛。$\int_{-1}^1\frac1x dx$ 在0两侧各自发散，不能用对称性把两个发散量抵消成0；同时对称截断得到的主值是另一个概念。

非负函数可以比较：$0\le f\le g$，大者g积分有限，小者f也有限；小者f已无限，大者g也无限。若 $\frac fg$ 在坏端点趋正常数，两者同敛散。带符号函数不能直接套这些非负判别，先看绝对值是否可积是一个可靠的充分途径。

p≠1时原函数$\frac{x^{1-p}}{1-p}$。在∞端需要1-p<0使幂项趋0；在0端需要1-p>0。p=1为ln x，两种端点都发散。

先独立作答；卡住时看提示，完成后再对照解析。