函数、极限与连续

一支笔2元，不打折。买1支付2元，买3支付6元，买5支付10元。只要支数确定，价钱就能跟着确定。

用x记支数，用y记价钱，就得到 $y=2x$。把3放在x的位置，便算出y是6。这里，x是你先给出的数，y是按照规则算出的数。

“给出一个允许的x，就确定一个y”这样的对应关系，数学上叫函数。下面仍从“哪些数可以给出、会算出什么”这两个问题来理解它。

函数记录的是一种对应规则。前面的笔价例子中，先给出支数，再按每支2元算出价钱。数学里把先给出的数叫输入，算出的数叫输出。

把规则取名为f，可以写 $y=f(x)$，读“y等于f在x处的值”。f是规则的名字，括号表示把x交给这条规则，不是f乘x。若规则是乘2，就写 $f(x)=2x$；$f(3)=6$ 表示把3代进去，结果是6。

同一个允许的输入必须对应一个确定结果，才是这里所说的函数。但不同输入可以得到同一结果。例如规则改成平方，$f(x)=x^2$，输入2或−2都会得到4，这完全可以。

哪些数允许代入，叫定义域；所有实际能算出的结果组成的范围，叫值域。先看平方规则：如果x允许取所有实数，那么平方只能得到非负数，值域就是 $[0,+\infty)$。如果只允许 $1\le x\le2$，平方的结果便只在 $[1,4]$ 内。输入范围不同，所描述的函数也就不同。

有些数不能代入，是因为某一步算不下去。在实数范围，平方不可能是负数，所以 $\sqrt{x-1}$ 要求 $x-1\ge0$；分母不能为0，所以 $\frac1{x-2}$ 要求 $x\ne2$；对数只对正数有意义，所以 $\ln x$ 要求 $x>0$。

同一个算式含几种运算时，每一步都要能算。例如根号能算，但分母为0，整个式子仍算不了。因此要把这些要求同时满足的数留下。下一段就按“先检查根号，再检查分母”做一遍。

有时不同范围用不同算法，叫分段函数。例如x为负数时算x+1，x大于或等于0时算x²。输入−2，用第一条，得到−1；输入0，用第二条，得到0。先判断落在哪段，再使用那一段的规则。

以 $f(x)=\frac{\sqrt{x-1}}{x-2}$ 为例，分两关检查。

第一关：根号要求 $x-1\ge0$，先留下 $[1,+\infty)$。第二关：分母要求 $x\ne2$，从刚才留下的范围里删去2。

于是得到 $[1,2)\cup(2,+\infty)$。符号 $\cup$ 读“并”：它把最终留下的两段合在一起。原始限制之间用“并且”，所以取交集；答案分成两段，属于任意一段都合格，所以用并集连接。

代入端点检查：x=1时分母不为0、根号为0，允许；x=2时分母为0，不允许。x=0虽通过分母这一关，却通不过根号这一关，因此不能取。

先独立作答；卡住时看提示，完成后再对照解析。

主线已包含本节所需知识；这里提供额外题目或更长的论证，按需要展开。

先看一条很简单的规则：把给出的数除以2。给出2，得到1；给出4，得到2；给出6，得到3。

数从2增加到4时，算出的结果也从1增加到2。把这些情况画成点 $(2,1)$、$(4,2)$、$(6,3)$，右边的点就比左边高。我们把这种“给出的数增大，结果也增大”的规律叫递增。它不是说结果比原来的数大：6除以2得到3，结果虽然比6小，仍然符合这里说的递增。

函数还有其他值得观察的规律，例如把一个数换成相反数时结果怎样变、隔一段是否重复。下面逐项来看，不把它们混成一件事。

先看递增。给出的x从2增到4时，$\frac x2$ 从1增到2；x从4增到6时，结果从2增到3。这里比较的是前后两次的函数值，不是拿函数值与x本身比较。

为了描述不止这几个数的情况，把较小的数记为 $x_1$，较大的记为 $x_2$。下标1、2只是给两个数编号。$x_1<x_2$ 表示第一个较小；$f(x_1)<f(x_2)$ 表示它对应的函数值也较小。

在指定范围里，无论选哪两个这样的数，上述关系都成立，就叫严格递增。“任意”就是“无论怎样选”的简写。如果x增大时函数值总减小，就叫严格递减。允许函数值保持相等时，分别叫非减、非增。例如常数函数一直保持同一个值，既非减又非增，却不是严格递增或严格递减。

为什么要说清范围？看平方函数：x从−2增加到0，x²从4减到0；x从0增加到2，x²又从0增到4。所以它在左半边递减，在右半边递增，不能笼统地只说递增。

接着看奇偶性，它比较的是一对相反数。平方规则中，2和−2都得到4，3和−3都得到9；因为 $(-x)^2=x^2$，换成任何相反数，平方都不变。这种关系写成 $f(-x)=f(x)$，叫偶函数。画在图上，就是纵轴两边一样高，关于纵轴对称。“偶”不是说函数值一定为偶数。

立方规则则不同：2得到8，−2得到−8。因为 $(-x)^3=-x^3$，相反输入总给出相反结果，写成 $f(-x)=-f(x)$，叫奇函数。点 $(2,8)$ 绕原点转半圈会到 $(-2,-8)$，所以这种图像关于原点对称。“奇”也不是说结果一定为奇数。

做这种比较前，x和−x都必须允许取值。若只允许 $0\le x\le2$，取x=1后却不能取−1，平方规则就不能在这个定义域上叫偶函数。我们把“每个允许的x都配有允许的−x”说成定义域关于0对称。在对称定义域上的零函数同时满足两条等式，所以既奇又偶；也有函数两者都不是。

周期性说的是隔着同样的距离重复。sin x在角度增加一整圈 $2\pi$ 后回到原来的值，所以x增加 $2\pi$，函数值不变。这个固定距离叫周期，常用T表示：$f(x+T)=f(x)$。要求T为正，且定义域随T平移后仍相同；偶然两个点一样高，还不够说明整条规则重复。

$2\pi$ 是sin x的周期，$4\pi$ 也是，最小的正周期是 $2\pi$。常数函数比较特殊：无论隔多小的正距离都不变，周期还能再减半，所以没有最小正周期。

最后看有界。sin x无论怎样取x，结果都不会超过1，也不会低于−1，能被两个固定的数限制住。用绝对值写，就是 $|\sin x|\le1$。把这里的1换成一个适合该函数的固定数M，就得到有界性的写法 $|f(x)|\le M$。M不必最小，关键是同一个M要能管住所讨论范围内全部函数值。

$\frac1x$ 在 $0<x<1$ 时就做不到：x取 $\frac12$，结果是2；取 $\frac1{100}$，结果是100。更一般地，x取 $\frac1n$ 就得到n，而n可以任意大。因此每一次虽然都能算出有限值，全部结果却没有一个统一上界。

证明 $f(x)=2x+1$ 递增，不能只展示几个数。先在实数范围内任取两个数 $x_1<x_2$，再用较大x对应的函数值减去较小x对应的函数值：$f(x_2)-f(x_1)=2x_2+1-(2x_1+1)=2(x_2-x_1)$。

因为 $x_2-x_1>0$，再乘正数2仍为正，所以 $f(x_2)>f(x_1)$。这对任意一对输入都成立，才完成证明。若换成 $f(x)=-2x+1$，作差得到 $-2(x_2-x_1)<0$，较大的x反而对应较小的函数值，所以该函数递减。

先独立作答；卡住时看提示，完成后再对照解析。

先选一个数，把它乘2，再加1。选3会得到7，选5会得到11。这是两步计算接着做。

如果顺序改成先加1、再乘2，选3就会得到8，结果变了。由此可见，把两条规则连起来时，先做哪一步很重要。

再反过来问：按“先乘2、再加1”算出了7，最初选的是什么数？先从7减1，再除以2，就找回3。本节分别学习怎样连接规则，以及什么情况下能这样倒着找回去。

把两步计算接起来，叫复合。先乘2的规则记为 $g(x)=2x$，再加1的规则记为 $f(u)=u+1$。这里u只是第二步要接收的数。选x=3，先得 $g(3)=6$，再得 $f(6)=7$。

把整个过程缩写成 $f(g(x))$，就表示先算括号里面的g，再把结果交给f。在这个例子中，$f(g(x))=2x+1$。顺序反过来是 $g(f(x))=2(x+1)=2x+2$，并不是同一个结果。

还要检查第一步的结果能不能做第二步。例如先算 $g(x)=1-x^2$，再取对数，得到 $\ln(1-x^2)$。选x=2时，第一步得到−3，第二步的对数就算不了；所以需要 $1-x^2>0$，解得 $-1<x<1$。复合后的允许范围由整个过程共同决定。

反过来找回原数，叫求反函数。原规则 $f(x)=2x+1$ 算出7时，先减1再除2，找回3。对一般结果y，也先减1再除2，得到 $x=\frac{y-1}{2}$。因此反向规则是“减1再除2”。

反函数写作 $f^{-1}$，上标−1在这里表示反向对应，不是倒数。比如 $f(x)=2x$ 的反函数是 $\frac x2$，倒数却是 $\frac1{2x}$，两种计算不同。

不是每条规则都能唯一找回原数。平方得到4时，原数可能是2，也可能是−2。若事先约定只许取非负数，就只剩2，反向规则成为平方根。函数严格递增或严格递减时，不同x不会给出同一个结果，因此能唯一倒着找。

原来能得到的所有结果，现在成了反向规则的输入；所以反函数的定义域就是原函数的值域。原图上的点 $(a,b)$ 反过来成为 $(b,a)$，两坐标交换，图像因此关于直线y=x对称。

以 $f(x)=2x+1$ 为例，求反函数就是：已经知道计算结果，怎样找回原来的数？把结果叫作y，便有 $y=2x+1$。

第一步，两边都减1，得到 $y-1=2x$；这一步撤销原来最后做的“加1”。第二步，两边都除以2，得到 $x=\frac{y-1}{2}$；这一步撤销“乘2”。所以，原来先乘2再加1，倒着找时就先减1再除以2。

现在把“已知的结果”作为新的输入。暂时用t给这个输入命名，反向规则就是 $f^{-1}(t)=\frac{t-1}{2}$。习惯上仍用x表示函数的输入，于是写成 $f^{-1}(x)=\frac{x-1}{2}$。这里只换了字母，计算规则没有变化。

检验一下：原规则把3变成7，因为 $2\times3+1=7$；反函数把7变回3，因为 $\frac{7-1}{2}=3$。

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把1依次分成10份、100份、1000份，再给每一份的大小加上2，结果是2.1、2.01、2.001。继续把份数增加，结果会越来越接近2。

这些数都还比2大，并没有哪一步突然变成2。但“越来越接近2”仍然是一件可以准确描述的事。极限就是用来描述这种靠近的结果。

接下来让一个数x不断靠近某个位置，看看按函数规则算出的数是否也在靠近一个确定的结果。

先继续看 $2+\frac1x$。x取10、100、1000，结果是2.1、2.01、2.001；x越大，多出来的 $\frac1x$ 越小。于是结果越来越接近2。这称为x趋于正无穷时，函数的极限为2。正无穷表示x不断变大，不是一个能直接代进式子的数。

另一类问题是x靠近某个有限的位置。例如规则 $\frac{x^2-1}{x-1}$ 在x=1时分母为0，不能算；但x=0.9时得到1.9，x=0.99时得到1.99；从右边取1.01、1.001，则得到2.01、2.001。两边都在接近2。

把“x靠近a时，函数值靠近L”写成 $\lim_{x\to a}f(x)=L$，读“x趋于a时，f(x)的极限等于L”。a是x靠近的位置，L是函数值靠近的结果。上例a是1，L是2。箭头表示不断靠近，等号后的2是这个过程的极限。

从小于a的一边靠近，叫左极限，写 $x\to a^-$；从大于a的一边靠近，叫右极限，写 $x\to a^+$。两侧有同一个有限结果，才有通常所说的有限双侧极限。例如 $\frac{|x|}x$，x为正时一直等于1，为负时一直等于−1；在0的两侧结果不一样，所以双侧极限不存在。

求x趋于a的极限时，检查的是x在a附近、但不等于a的情况。a附近的一小段范围叫邻域，去掉a本身后叫去心邻域。所以上例即使在x=1处没有定义，仍然可以有极限2；若单独把这一点的函数值定成100，也不会改变附近的计算结果。点上的值与附近的极限是两个问题。

“靠近”还需要说得比“差不多”准确。如果要求函数值与L相差不到0.1，就能让x靠a足够近来保证；把要求改严为0.001，也应能重新找到更小的范围。无论把要求定得多严，都能做到，才是这里的极限。

最后给这两个要求命名：$\varepsilon$ 读“艾普西龙”，表示允许的函数值误差；$\delta$ 读“德尔塔”，表示x与a允许的距离。正式写法是：对任意 $\varepsilon>0$，能找到 $\delta>0$，使所有允许且满足 $0<|x-a|<\delta$ 的x，都有 $|f(x)-L|<\varepsilon$。前一个不等式说x足够近而不等于a，后一个说结果已经达到所要求的精度。

当x≠1，原分式等于x+1，离2的距离恰为|x-1|。为了使输出误差小于ε，只需令δ=ε。这直接解释极限为2，而不需要在1处定义原函数。

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把1先分成1份，再分成2份、3份、4份，每一份的大小依次是 $1,\frac12,\frac13,\frac14$。按这个顺序写下去，就是一串有编号的数。

第一项是1，第二项是二分之一，第n项就是 $\frac1n$。这里的n只是在数“排到第几项”。排得越靠后，每一项越接近0。

这样的数串叫数列。本节要解决的是：一串数不断写下去，会不会越来越接近某个固定的数？

数列的每一项都有位置编号。把第1项写成 $a_1$，第2项写成 $a_2$，第n项写成 $a_n$。下标n是编号，不是乘方。这里n取1、2、3等正整数，所以数列是一个个往后排，不是在所有实数位置上连续取值。

数列极限问的是排得足够靠后以后，各项是否都接近同一个数。对 $a_n=\frac1n$，想让它小于0.01，只要n大于100；想让它小于0.0001，只要n大于10000。无论要求多小，都能往后找到满足要求的整段，所以极限是0。

正式写成 $a_n\to L$，意思是第n项与L的距离能小到任意指定程度。用符号说：给定 $\varepsilon>0$，能找到一个编号N，使所有n>N的项都满足 $|a_n-L|<\varepsilon$。N后面的每一项都要符合，不能只挑其中几项。

有时不知道某一项的准确值，却知道它被夹在两项之间。例如 $-1\le\sin n\le1$，同除以正数n，得到 $-\frac1n\le\frac{\sin n}n\le\frac1n$。上下两边都趋于0，中间也只能趋于0。这个判断办法叫夹逼准则。

另一种情形是各项只增不减（允许相等），却始终不超过某个固定数。例如每一项都不小于前一项、又总小于2，就可以保证它们有一个有限极限。这叫单调有界准则。递减时则需要一个固定下界。这条准则先保证极限存在，并不直接告诉我们极限是多少。

两项要求缺一不可。只递增不够，数列1、2、3一直增加却没有有限极限；只有界也不够，1、−1、1、−1始终在−1与1之间，却不靠近同一个结果。

从原数列中按原顺序只取某些项，叫子列。例如只取偶数编号的项。如果原数列趋于L，取出的子列也趋于L；但只看到一个子列收敛不能推出整个数列收敛。交替的1、−1中，只取某一类编号会得到常数列，另一类编号却得到另一个常数列。

对 $a_n=\frac{\sin n}{n}$，因-1≤sin n≤1，除以正数n得-$\frac1n$≤aₙ≤$\frac1n$，两端都到0，故aₙ→0。关键不是sin n本身有极限，而是摆动幅度被压小。

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想计算 $\frac{x^2-4}{x-2}$ 在x接近2时的变化。先试x=3，得到5；再试x=2.1，得到4.1；试x=2.01，得到4.01。结果看起来在靠近4。

但直接把x换成2，分子、分母都会变成0，除法就不能做了。代入算不出，并不意味着刚才的靠近过程没有结果。

需要做的是把式子改写成在2附近更容易计算的样子，同时保留原式不能取x=2的限制。下面学习几种常用改写方法。

先问能不能直接用四则法则。若两部分分别趋向有限数A、B，加减乘可把极限放进去；除法还要B≠0。例如分母趋2时，当x足够接近目标点时，分母就在1与3之间，不会等于0，因此这时的商有定义。

为什么“零除以零型”不给答案？令x趋0：$\frac{x}{x}=1$，$\frac{x^2}{x}=x\to0$，而 $\frac{x}{x^2}=\frac1x$ 没有有限双侧极限。三式的分子、分母都趋0，结果却不同；缺少的是谁变小得更快的信息。“零比零型”表示仅凭分子、分母都趋于0，还不能确定这个商的极限。

常见变形都在寻找这条信息。多项式优先分解公因子；根式相减优先乘共轭式；分数相减先通分。只要在目标点附近、排除目标点后保持相等，就能用化简式求同一个极限，不必把原函数在目标点补定义。

有限极限还带来三个局部性质：同一趋近过程不可能有两个不同极限，叫唯一性；在目标点附近，所有函数值的绝对值都不超过某个固定数，叫局部有界性；若极限L>0，足够接近目标点时函数值也为正，叫保号性。比如目标是2，先把输出误差限制到小于1，输出就在1和3之间，因此既有界又为正。

这些性质只管足够靠近目标的位置，不保证远处。保号性也不能倒用：x²在0附近除0外都为正，极限仍然可能是0。所谓无穷大量，则是绝对值越来越大而超过任何预先给定的界，不是一个可以拿来做普通除法的实数。

$\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}=\frac{1}{\sqrt{1+x}+1}$（x≠0）。乘以共轭式让分子变成x，消去造成零比零型的公共因子；新分母趋于2，所以极限$\frac12$。

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取x为0.1，x²就是0.01；把x改成0.01，x²就变为0.0001。两者都在变小，但x²相对于x变得更小了。

怎样把“更小”说准确？看比值 $\frac{x^2}{x}$：它分别是0.1、0.01，并且随着x趋于0也趋于0。这个比值说明，x²占x的比例越来越小。

本节用这种比较方法理解“无穷小”，再认识两个经常用来计算极限的关系。

比较两个都趋0的量，不能只说“都很小”。例如x²比x缩得快，因为 $\frac{x^2}{x}=x\to0$；2x与x只是相差两倍，缩小速度属于同一阶。这里讨论时默认比较式在附近有意义。

第一重要极限是 $\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$，x必须用弧度。这句话不是说sin x永远等于x，而是说小角度时，两者的相对差别越来越小。写作 $\sin x\sim x$，符号∼读“等价”，定义就是两者的比值趋于1。

第二重要极限是 $\lim_{u\to0}(1+u)^{\frac1u}=e$，附近需1+u>0。它描述底数趋1、指数变大的配合。套用时底数里的小量和指数分母必须是同一个u；看到1+2x，就应配2x的倒数 $\frac1{2x}$，不能忽略系数2。

几组常用等价式（变量趋0）是 $\ln(1+x)\sim x$、$e^x-1\sim x$、$1-\cos x\sim\frac{x^2}{2}$、$(1+x)^a-1\sim ax$（固定a≠0）。使用顺序是认出内部小量、确认它趋0、完整代入，包括平方和系数。

更一般地，若 $\frac\alpha\beta\to0$，就说α比β高阶，记 $\alpha=o(\beta)$；比值趋非零常数叫同阶，只有趋1才叫等价。无穷小是极限为0的变化量，不是固定写成0。

等价替换在乘除结构里最方便，相减时不能只换首项。例如sin x−x恰好把两个相同的首项消掉，剩余大小需要更细的信息；先记住这个限制，到泰勒章再计算它，而不是把原式当成恒等于0。

在0<x<$\frac\pi2$，单位圆面积比较给出sin x<x<tan x，所以cos x<$\frac{\sin x}{x}$<1，夹逼得到极限1；负侧用偶性得到同样结论。再由1-cos x=2$\sin^2\frac x2$得到与$\frac{x^2}2$等价。

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看规则 $y=x+1$。x取0.9、0.99，y是1.9、1.99；x取1.01、1.1，y是2.01、2.1。从左右靠近1，y都在靠近2。

如果x正好等于1时仍取y=2，图像就在这里接上了。如果单独规定x=1时取y=3，左右靠近的仍是2，实际取到的却是3，图上便多出一个不在原位置的点。

“附近靠近的值”和“这个位置实际取到的值”相等，才叫在这里连续。下面看看几种接不上的情况。

在x=a处连续，意思是附近的函数值能接到这一点实际的函数值上。需要检查三件事：f(a)有定义；x靠近a时有极限；这个极限等于f(a)。少一件，都不能说在这里连续。

例如附近按x+1计算，x靠近1时结果趋于2。若f(1)=2，三件事都符合；若f(1)=3，函数值虽然存在，却与极限不同，因而不连续。这也说明，连续不要求图像是直线，要求的是数值接得上。

接不上的位置叫间断点。若左右极限相同且有限，只是点上的值缺失或取错了，可以补上或改成极限值，使它连续，叫可去间断点。例如x接近1时都趋于2，只需把f(1)改成2。

若左右都趋于有限数，但两个数不同，叫跳跃间断点。例如左边恒取1，右边恒取2，改中间那一个点也不能让两个极限相等。若有一侧无限增大、无限减小，或反复摆动而没有极限，则属于第二类间断点。分类时先算两侧，再比较点上的值。

在允许的范围内，多项式、指数、对数、三角等基本函数都是连续的。连续函数相加、相减、相乘仍连续；相除还要分母不为0。把连续规则复合起来时，只要每一步的输入都落在相应的定义域内，结果也连续。这些性质让我们能直接代入计算许多极限。

如果函数在整个闭区间 $[a,b]$ 上连续，两端也包含，就能保证它取得一个最大值和一个最小值，叫最值定理。端点不能随便去掉：例如x在 $(0,1)$ 上总小于1，却永远取不到1，没有最大值。

连续还有一个重要保证：从一种高度走到另一种高度，中间高度都会经过。例如f(a)=−1、f(b)=2，且函数在 $[a,b]$ 连续，那么途中一定经过高度0，方程f(x)=0至少有一个解。这叫零点定理，是介值定理在中间值取0时的情形。它保证至少有解，但不保证只有一个解。

想把$\frac{\sin x}{x}$补成在0连续，必须令f(0)等于它的极限1。任何其他补值都不能改变附近趋势，只会留下可去间断。

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