综合复习：选择方法与检查答案

17 / 综合复习：选择方法与检查答案 · 小节 1

一道题为什么选这种方法

读完这一节，你会

能根据题目的具体形式选择方法，并用另一种关系检查答案。

前置知识：正定、负定与参数判定 · 符号回看

从一个问题开始

两个积分 $\int2x\cos(x^2)\,dx$ 与 $\int x\cos x\,dx$ ，外表都像“一个x乘三角函数”，但做法不一样。

第一个式子里，x²的导数正好是外面的2x，可以把x²换成u；第二个式子里没有这一对关系，却可以让x求导变成1，所以适合分部积分。

选方法不是看见某个字母就套一个公式，而是指出式子中哪一处使这个方法有效。本节用跨章节题练习这种判断。

把这件事讲清楚

先确定题目要求什么。例如求极限要得到趋近的结果，解方程组要写出全部解，证明有根则只需保证至少一个根存在。再检查式子的具体形式，选择适用的方法。

极限先检查定义域、趋近方向，再尝试代入。有限非零分母通常可直接算；零除以零型再看多项式能否分解、根式相减能否有理化。振荡量乘越来越小的系数，考虑夹逼；分子多个低阶项相消，考虑泰勒；含导数条件且型别适合，才考虑洛必达。

如果是很多小项的求和，找“每份宽度”和“取样点”，看能否识别黎曼和；如果是变限积分除一个小量，先看累计区间长度与平均高度。不先区分这两件事，就容易漏掉上限2x或x²带来的系数与阶数。

积分先寻找内层及其导数能否配成换元，再看是否有因子求导会简化，决定分部；有理式先除法、分解或配方。二重积分则先画区域，如果内积分很难，尝试换序；圆形区域、只与到圆心距离有关的函数，常适合极坐标，但必须把面积因子一起换。

线代也先认对象：线性方程组先看有没有解，再看秩和能自由选择的未知数；矩阵幂看结构或对角化；二次型看可逆换元、合同与正负惯性。名字相近的运算不能替代条件检查。

最后选一种独立检查：积分求导回去，方程把解代回，矩阵逆乘回I，参数每支查一个值，面积查非负和量纲。这不是把同一行算式重抄一遍，而是从另一条关系检查它。

为什么成立 · 关键推导

设f连续于0且f(0)=c， $\frac{\int_0^x f(t)dt}{x}$ 是短区间平均值，趋c。若分子 $\int _{0}^{x^{2}}f(t)dt$ ，则分子约c x²，除x²才趋c。尺度来自区间长度，而不是把上限机械换成x。

入门例题 / 1

求 $\lim_{x\to0}\frac{\int_0^x\sin t\,dt}{x^2}$ 。方法一先积得 $\frac{1-\cos x}{x^2}$ → $\frac12$ ；方法二洛必达一次得 $\frac{\sin x}{2x}$ → $\frac12$ 。两条独立路径结果一致。

典型应用与变式 / 2

求 $\lim_{n\to\infty}\frac1{n^2}\sum_{k=1}^{n-1}k\ln(\frac{k}{n})$ 。改写为( $\frac1n$ )Σ( $\frac kn$ )ln( $\frac kn$ )，令f(0)=0补连续，识别∫₀¹x ln x dx；分部并处理0端极限得- $\frac14$ 。结果为负，符合各项ln( $\frac kn$ )<0。

停一下，自己试一试

先独立作答；卡住时看提示，完成后再对照解析。

概念判断

结果与直觉符号矛盾时，应只重算最后一步吗？

需要一点提示

可能从建模时就选错上下界。

查看过程、答案与错因

应回查定义域、方向、上下界和变形条件；符号错误可能早于代数计算，不能只修最后一个负号。

计算与执行过程

求 $\lim_{x\to0}\frac{\int_0^{2x}(1+t^2)dt}{x}$ 。

需要一点提示

先把积分算出来，再看除以x后哪些项趋于0。

查看过程、答案与错因

分子2x+ $\frac{8x^3}3$ ，除x得2+ $\frac{8x^2}3$ →2；也等于平均高度趋1乘区间长度比2。

条件与错误辨析

泰勒与洛必达给不同答案时，能取平均吗？

需要一点提示

数学答案不是测量值。

查看过程、答案与错因

不能，应检查展开阶数、链式系数和法则条件。正确方法在同一题上必须一致。

补充解释与练习

主线已包含本节所需知识；这里提供额外题目或更长的论证，按需要展开。

补充阅读 · 学过积分后：把和式看成面积

这一部分在学习定积分之后再读。先理解小矩形的宽度与高度，再把求和写成积分。

定积分定义求极限

若 $f$ 在 [0,1] 上连续，可以使用下面的定积分定义；更一般地，可积时也成立：

\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^n f\left(\frac kn\right)=\int_0^1 f(x)\,\mathrm{d}x

识别特征：和式中出现 $\frac{k}{n}$ 的函数，且前面带有 $\frac{1}{n}$ （或可提出 $\frac{1}{n}$ ）。

例题　定积分定义

求 $\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^n\sin\frac{k\pi}{n}$ 。

写成 $\frac1n\sum_{k=1}^n\sin\frac{k\pi}{n}$ ，取 $f\left(x\right)=\sin \left(\pi x\right)$ ，则原式为 $\int_0^1\sin(\pi x)\,\mathrm{d}x$ 。

\int_0^1\sin(\pi x)\,\mathrm{d}x=\frac2\pi

方法选择： $n$ 项和且各项“差不多大”→夹逼；形如 $\left(\frac{1}{n}\right)\sum f\left(\frac{k}{n}\right)\to$ 定积分定义；递推→单调有界；通项可先求和→先求和再取极限。

定积分这一步，先把求和看成一排小矩形

这一方法需要后面定积分的知识；第一次学到这里，可以先理解结构，学完积分后再掌握计算。若 $f$ 在 [0,1] 上连续，把这个区间均分为 $n$ 份，每份宽 $\frac{1}{n}$ ，在右端点 $\frac{k}{n}$ 取高度 $f\left(\frac{k}{n}\right)$ ，小矩形面积就是 $\left(\frac{1}{n}\right)f\left(\frac{k}{n}\right)$ 。

$\sum$ 的意思是把 $k=1$ 、2…… $n$ 对应的项全部加起来。因此 $\left(\frac{1}{n}\right)\sum f\left(\frac{k}{n}\right)$ 就是这排矩形的总面积（高度为负时按带符号面积计算）。区间越分越细，这个和就趋于定积分。

在 $\sin \left(\frac{\pi k}{n}\right)$ 那道题里，小矩形宽度是 $\frac{1}{n}$ ，高度函数是 $f\left(t\right)=\sin \left(\pi t\right)$ ，积分区间是 [0,1]。 $\pi$ 包含在高度函数里。若改用宽度 $\frac{\pi }{n}$ 来理解，就要把和式外面补上 $\frac{1}{\pi }$ ，积分区间相应改为 $\left[0,\pi \right]$ ；两种写法结果一致。

\int_0^1\sin(\pi t)\,\mathrm{d}t=\left[-\frac{\cos(\pi t)}\pi\right]_0^1=\frac1\pi-\left(-\frac1\pi\right)=\frac2\pi

做这类题，先标出三个东西：每份宽多少、在哪个点取值、对应哪个区间。确认函数在区间上连续等可积条件后，再把和式写成积分。

补充阅读 · 拓展练习：选一道已经学过的题

拓展1　复合函数先算谁

设 $f\left(x\right)=\sqrt{x}$ ， $g\left(x\right)=x-3$ ，求 $f\left(g\left(x\right)\right)$ 和 $g\left(f\left(x\right)\right)$ 的定义域。

需要一点提示

把“先算谁”用箭头写出来。

展开逐步解析

$f\left(g\left(x\right)\right)=\sqrt{x-3}$ ，要求 $x\ge 3$ ，定义域 $\left[3,+\infty \right)$ 。 $g\left(f\left(x\right)\right)=\sqrt{x}-3$ ，先开根号，要求 $x\ge 0$ ，定义域 $\left[0,+\infty \right)$ 。同样两个函数，运算顺序不同，允许的输入就不同。

拓展2　认准内部的小量

求 $x\to 0$ 时 $\frac{\ln \left(1+4x\right)}{\sin \left(2x\right)}$ 的极限。

需要一点提示

分子整体与 $4x$ 等价，分母整体与 $2x$ 等价。

展开逐步解析

因为 $4x$ 和 $2x$ 都趋于0，原式与 $\frac{4x}{2x}$ 有相同极限，得到2。完整理由是 $\frac{\ln \left(1+4x\right)}{4x}\to 1$ ， $\frac{\sin \left(2x\right)}{2x}\to 1$ ，剩下的系数比为 $\frac42$ 。

拓展3　有界的振荡乘上无穷小

求 $x\to 0$ 时 $x^{2}\sin \left(\frac{1}{x}\right)$ 的极限，并解释为什么不能把两个因子的极限直接相乘。

需要一点提示

先用 $|\sin \left(\frac{1}{x}\right)|\le 1$ 。

展开逐步解析

有 $|x^{2}\sin \left(\frac{1}{x}\right)|\le x^{2}$ ，而 $x^{2}\to 0$ ，所以由夹逼准则，极限为0。 $\sin \left(\frac{1}{x}\right)$ 本身没有极限，不能写成 $\lim x^{2}$ 乘以 $\lim \sin \left(\frac{1}{x}\right)$ ；但它有界，因此可以用夹逼或“有界量乘无穷小”。

拓展4　证明有根，不必先解出根

证明 $x^{3}+x-1=0$ 在 (0,1) 内恰好有一个实根。

需要一点提示

先用零点定理证存在，再说明严格单调。

展开逐步解析

令 $F\left(x\right)=x^{3}+x-1$ 。它在 [0,1] 连续， $F\left(0\right)=-1$ 、 $F\left(1\right)=1$ ，端点异号，所以在 (0,1) 至少有一个零点。 $x^{3}$ 与 $x$ 都严格递增，故 $F$ 严格递增，零点至多一个。合起来是恰好一个。无需写出根的具体数值。

拓展5　抵消以后保留什么

求 $x\to 0$ 时 $\frac{e^{x}-1-x}{x^{2}}$ 的极限，并解释为什么 $e^{x}\sim 1$ 不能直接用于本题。

需要一点提示

保留到二阶，把余项写成 $o\left(x^{2}\right)$ 。

展开逐步解析

$e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2}+o\left(x^{2}\right)$ ，相减后分子为 $\frac{x^{2}}{2}+o\left(x^{2}\right)$ ，除以 $x^{2}$ 得 $\frac{1}{2}+\frac{o\left(x^{2}\right)}{x^{2}}\to \frac{1}{2}$ 。 $e^{x}\sim 1$ 只保留了常数层面的信息，本题恰好会减去常数项和一次项，必须继续保留二次项。

带走这一句

方法的选择来自结构；第二种检查方法帮助发现第一种计算中的盲点。

17 / 综合复习：选择方法与检查答案 · 小节 2

证明题：把条件接到结论

读完这一节，你会

能分开说明“至少有一个”和“至多有一个”，并逐条写出定理的使用条件。

前置知识：一道题为什么选这种方法 · 符号回看

从一个问题开始

有人问：“方程 $x^3+x=2$ 是不是只有一个答案？”代入x=1，两边都等于2，这只说明1确实是一个答案。

要回答“只有一个”，还得解释为什么不可能有第二个。函数 $x^3+x$ 在整个实数范围递增，同一个高度2不能在两个不同位置取到，因此答案才是唯一的。

证明题经常差在这一步：找到一例、排除其他可能、证明所有情况成立，是不同的任务。下面练习把这些任务分别写完整。

把这件事讲清楚

证明题不是报出一个定理名称，而是让读者能检查从已知到结论的每一环。先把目标写清：“至少有一个”“只有一个”“每个都成立”需要不同论证。

存在性只负责找到或保证一例。连续函数两端异号可用零点定理，满足端点等高及光滑条件可用罗尔，线性方程组秩相等可保证有解。选定工具后，要逐条展示题目如何满足它的条件，而不是把条件留给读者猜。

唯一性还要说明第二个为什么不可能。例如先由零点定理得到根，再用严格单调说明不同输入不能都输出0。线性方程组可用“两解之差为齐次解”，若齐次只有零解，则任何两解相同。只试出x=1是一根，并不排除别的根。

“若A则B”的充分性证明从A出发；必要性则从B出发推回A。证明等价需两边都完成。一边容易、另一边困难，也不能把“显然反之成立”作为省略的理由。

构造辅助函数先解释选择理由：目标出现f'+f，可尝试eˣf，因为它的导数正好含这个组合。随后查定义区间、连续可导性、端点是否相等，再用罗尔；如果新函数含分母，必须核对没有除0。

否定全称结论只需一个反例，但反例必须真的满足原前提。例如|x|满足连续而在0不可导，可以否定“连续必可导”；拿一个本来不连续的函数就不能。最后专查端点、零向量和参数边界，很多遗漏都藏在这些特殊位置。

为什么成立 · 关键推导

若连续f在[a,b]异号，零点定理只给存在。如果进一步f'>0，则任意x₁<x₂有f(x₁)<f(x₂)，不可能两点都等于0，才给唯一。零点定理保证至少有一个根，严格递增保证至多有一个根，合起来才能得到恰有一个根。

入门例题 / 1

证明eˣ+x=0恰有一实根。F=eˣ+x连续， $F(-1)=e^{-1}-1<0$ 、F(0)=1>0，先有根；F'=eˣ+1>0全程递增，故仅一个。

典型应用与变式 / 2

证明可逆A的齐次方程仅零解。由Ax=0左乘 $A^{-1}$ 得x=0；反过来若仅零解，方阵满秩n，所以|A|≠0，从而可逆。两方向共同说明等价。

停一下，自己试一试

先独立作答；卡住时看提示，完成后再对照解析。

概念判断

要证明“所有连续函数都可导”，举一个可导函数够吗？

需要一点提示

全称命题需要覆盖谁？

查看过程、答案与错因

不够，而且命题本身错误，|x|连续但在0不可导是反例。

计算与执行过程

证明x³+x=2只有一个实根。

需要一点提示

先找一个，再证明不会有第二个。

查看过程、答案与错因

x=1满足；导数3x²+1>0，全实数严格递增，因此唯一。只试出1还不够证明唯一。

条件与错误辨析

应用罗尔前只写f(a)=f(b)够吗？

需要一点提示

还要检查函数在闭区间连续、在开区间可导。

查看过程、答案与错因

不够，还需闭区间连续、开区间可导。缺条件时结论可能不成立，例如绝对值折角。

带走这一句

一份可检查的证明，是一条从已知条件到目标结论的完整连接。

17 / 综合复习：选择方法与检查答案 · 小节 3

参数、综合训练与复盘

读完这一节，你会

能找出参数改变答案的边界，并按不重不漏的情况整理结论。

前置知识：证明题：把条件接到结论 · 符号回看

从一个问题开始

看方程 $(a-1)y=0$ 。若a=2，方程变成y=0；若a=3，变成2y=0，答案仍是y=0。

但a=1时，方程变成 $0\times y=0$ ，任意y都满足。如果直接把原式两边除以a−1，就会把这一整类答案漏掉。

因此含参数时，要先记下哪些值会让除法或所用公式失效，再回到原式检查。本节把这种分情况做法与全课程常见题型结合起来。

把这件事讲清楚

参数题看起来是一道式子，其实在问“条件怎样变化时，答案结构会变”。比如二次曲线最低点从横轴下方移到上方，根数会由两个变为没有；矩阵一个主元消失，独立约束数量也可能改变。

先找临界值，来源通常是某个不能直接除的量变0、判别式变0、行列式变0、极值碰到边界，或反常积分的收敛指数达到临界。找出来后把参数轴切成区间，再逐段给统一理由。临界点本身必须单列，不能只写左右两边。

分支要互斥且完整。例如“a>1”和“a≥1”重叠，而只写a>1与a<1又漏a=1。每次除以含参数的式子，都在草稿旁记下使用条件，最后回到原问题处理被排除的值。

有时一般公式看似约简后在边界仍有数值，也不代表所有解都由它覆盖。方程 $(a-1)y=0$ 在a≠1时只有y=0，a=1时却允许所有y；约简只能给一般分支，不能识别自由度突然增加。

复盘要写能执行的改进动作。把“粗心”改为“换元后先在旁边写新上下限”，把“参数漏了”改为“除法前先记分母为0的分支”，把“概念没记住”改为“举一个有界但不收敛的反例”。下次有具体动作可做，错题本才有用。

网站的已读和完成标记只记录阅读行为。检验掌握要合上解析重做，能说明为什么选法、每步条件及怎么核验；若卡在符号含义，就回到最早的前置小节，不必机械从头重读整套课程。

为什么成立 · 关键推导

f=x²-2ax+1的最小值在x=a，为1-a²。实根情况由此高度决定：|a|>1两根，|a|=1二重根，|a|<1无实根。临界值来自最小值碰到0。

入门例题 / 1

求A= $\begin{pmatrix}1&a\\a&1\end{pmatrix}$ 正定范围。顺序子式1与1-a²必须正，得-1<a<1。特征值1±a也都为正，第二方法验证；端点半正定，区间外不定。

典型应用与变式 / 2

讨论 $\int _{1}^{\infty }x^{-p}dx$ 。p>1值 $\frac1{p-1}$ ；p=1对数发散；p<1幂增长发散。不能用 $\frac1{p-1}$ 公式给p<1一个负面积，因为该公式的极限前提不满足。

停一下，自己试一试

先独立作答；卡住时看提示，完成后再对照解析。

概念判断

一条一般公式在边界无定义，是否说明原问题也无解？

需要一点提示

公式可能来自除以参数。

查看过程、答案与错因

不一定，原问题可能有特殊解或更多解，必须回到原式检查边界。

计算与执行过程

讨论 $\begin{pmatrix}1&a\\a&1\end{pmatrix}$ 对应齐次方程的非零解条件。

需要一点提示

行列式为0时秩不足。

查看过程、答案与错因

1-a²=0，所以a=±1；a=1时解t(1,-1)，a=-1时解t(1,1)。其他a仅零解。

条件与错误辨析

把所有练习都标记已读，可以据此认定掌握了吗？

需要一点提示

阅读和独立完成是两种行为。

查看过程、答案与错因

不能。应合上解析独立作答，再按方法选择、条件和计算三方面检查；网站只保存已读状态。

带走这一句

做含参数题时，先列出需要单独讨论的参数值，再检查每个分支是否满足原方程或原定理的条件。

章末 / 把知识接起来

综合训练与真题

原创综合训练

分别验证：∫₀¹x ln x dx=- $\frac14$ ；A= $\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$ 正定。为每一结论写两种检查。

需要一点提示

一题查符号与分部，一题查主子式与特征值。

查看过程、答案与错因

积分分部为[ $\frac{x^2\ln x}2$ - $\frac{x^2}4$ ]₀¹=- $\frac14$ ，下端极限0；又x ln x≤0，答案非正且有限，作量级检查。矩阵顺序子式2、3均正；另一方法特征值3、1均正。两种验证分别检验计算与条件，而不只是重复抄结果。

2025 年 · 数学二 · 第 18 题

从一个极限反推函数值与导数

题目与题号已对照大学公开转载试卷核验，解析为本课独立编写。原卷第 4 页。

真题研读 · 题干要点与独立解析

f在0连续，且 $\lim_{x\to0}\frac{xf(x)-e^{2\sin x}+1}{\ln(1+x)+\ln(1-x)}=-3$ ，求f(0)、f'(0)。

需要一点提示

分母是ln(1-x²)；先确定分子到二阶的量级。

查看过程、答案与错因

分母=-x²+o(x²)，所以分子=3x²+o(x²)。又 $e^{2\sin x}=1+2x+2x^{2}+o(x^{2})$ ，因此xf(x)=2x+5x²+o(x²)。x≠0时除x得f(x)=2+5x+o(x)，连续性给f(0)=2；再按导数定义，f'(0)= $\lim_{x\to0}\frac{f(x)-2}{x}$ =5。并未预先假定f可导，而是从已知极限证明可导。

综合复习：选择方法与检查答案

从一个问题开始

把这件事讲清楚

为什么成立 · 关键推导

入门例题 / 1

典型应用与变式 / 2

停一下，自己试一试

概念判断

计算与执行过程

条件与错误辨析

补充解释与练习

定积分定义求极限

定积分这一步，先把求和看成一排小矩形

拓展1 复合函数先算谁

拓展2 认准内部的小量

拓展3 有界的振荡乘上无穷小

拓展4 证明有根，不必先解出根

拓展5 抵消以后保留什么

带走这一句

从一个问题开始

把这件事讲清楚

为什么成立 · 关键推导

入门例题 / 1

典型应用与变式 / 2

停一下，自己试一试

概念判断

计算与执行过程

条件与错误辨析

带走这一句

从一个问题开始

把这件事讲清楚

为什么成立 · 关键推导

入门例题 / 1

典型应用与变式 / 2

停一下，自己试一试

概念判断

计算与执行过程

条件与错误辨析

带走这一句

原创综合训练

2025 年 · 数学二 · 第 18 题

真题研读 · 题干要点与独立解析

拓展1　复合函数先算谁

拓展2　认准内部的小量

拓展3　有界的振荡乘上无穷小

拓展4　证明有根，不必先解出根

拓展5　抵消以后保留什么