二次型、合同与正定性

展开 $(x+y)^2$，会得到 $x^2+2xy+y^2$。于是 $x^2+2xy+3y^2$ 可以写成 $(x+y)^2+2y^2$。

原来x与y混在2xy中，配方后却能先算x+y的平方，再加2倍y的平方。把x+y记成u，把y记成v，式子便简化为 $u^2+2v^2$。

本节处理的“二次型”就是由这种二次项组成的式子。目标是找一种可以换回来的新变量，让计算和判断正负都更容易。

二次型是只由总次数为2的项组成的表达式，例如x²+2xy+3y²。平方项描述各方向的变化，xy交叉项把两个方向混在一起；目标是换一组可逆坐标，把它拆成若干独立平方。

写成 $f=\boldsymbol{x}^TA\boldsymbol{x}$ 时，A取实对称矩阵。对角元素直接放平方项系数，交叉项则对半分到对称位置：2xy由a₁₂xy与a₂₁yx共同贡献，因此两处都填1。若填2，就会错误地产生4xy。

换元 $\boldsymbol{x}=C\boldsymbol{y}$ 后，表达式变成 $\boldsymbol{y}^T(C^TAC)\boldsymbol{y}$；C可逆才能不遗漏或重复压缩原来的方向。这种矩阵关系叫合同。配方法或正交对角化都可以让交叉项消失，得到标准形 $\sum_i d_i y_i^2$。

标准形保留具体系数，例如u²+2v²。继续把非零系数的绝对值吸收到变量缩放里，就得到只有正1、负1、0系数的规范形，例如令w=$\sqrt2$v后成为u²+w²。这一步不是改变原量，而是改变坐标的长度单位。

惯性定律说：任何可逆变换后，正平方项数量p和负平方项数量q不变，叫正、负惯性指数，秩为p+q。对同阶实对称矩阵，正负数量相同正是合同的判据；具体特征值不必相同。

注意合同 $C^TAC$ 与相似 $P^{-1}AP$ 的任务不同：前者重写二次表达式，后者重写线性变换。只有变换矩阵正交、转置等于逆时，两种形式才重合，不能在一般题里互换。

代入x=Cy，f=(Cy)ᵀA(Cy)=yᵀ(CᵀAC)y。合同处理二次表达式；相似$P^{-1}AP$处理同一个线性变换。只有正交矩阵时$C^{-1}=C^{T}$，两种形式才重合。

先独立作答；卡住时看提示，完成后再对照解析。

算式 $x^2+y^2$ 只要x、y不同时为0，结果就大于0。它在任何非零输入处都为正，这种性质叫正定。

但只有 $x^2$ 时，取x=0、y=1也会得到0，所以它不满足正定，尽管它从不为负。若换成 $x^2-y^2$，取 $(1,0)$ 得1，取 $(0,1)$ 得−1，结果还可能一正一负。

要区分这几种情况，不能只检查一个输入，也不能只看矩阵中的数是否为正。下面给出能用于计算的判断办法。

正定不是“矩阵里的数都正”，而是一个关于所有方向的判断：对任意非零向量x，都有 $x^TAx>0$。例如x₁²+x₂²不可能在非零向量处等于0，是正定；x₁²允许 $(0,1)$ 得0，只是半正定。

定义排除零向量，因为任何二次型在零向量都等于0。半正定把输出要求放宽到≥0；负定要求每个非零方向都<0；如果既有正值方向也有负值方向，就叫不定。不能由某几个试算方向推断全部方向。

对实对称A，正交对角化后 $x^TAx=\sum_i\lambda_i y_i^2$，所以所有特征值>0等价于正定；只要有一个λ≤0，沿对应非零特征方向就能否定。这个判据确实检查了所有可能组合，而非只看对角格子的符号。

另一个常用判据是全部顺序主子式>0：先取左上角1阶，再左上角2阶，直到整个n阶，各自算行列式。这叫顺序主子式，不是随便挑几个子式。二阶矩阵 $\begin{pmatrix}a&b\\b&c\end{pmatrix}$ 因而要求a>0且ac−b²>0。

负定可检查−A是否正定，等价于顺序主子式依次负、正、负等交替。仅整体行列式为正不够，例如diag(−1,−2)乘积为正却负定；对角都正也不够，交叉项可能让某方向变负。

半正定不能把“顺序主子式>0”直接换成“≥0”当充分条件；可用全部特征值≥0，或所有主子式非负。含参数题在严格边界处须重新分类，不能把半正定也算进正定范围。

正交对角化后xᵀAx=Σλᵢyᵢ²。所有λᵢ>0时非零y至少一项平方正，故总和正；若某λ≤0，沿该坐标方向即可否定正定。

先独立作答；卡住时看提示，完成后再对照解析。