特征值、相似与对角化

一种坐标变化把横坐标乘2，纵坐标不变。向右的向量 $(1,0)$ 变成 $(2,0)$，还是向右，只是长度变成2倍；向上的向量 $(0,1)$ 则保持不变。

斜向的 $(1,1)$ 会变成 $(2,1)$，连方向也改变了。于是前面两种向量有一个共同特点：变化后的结果，恰好是原向量乘同一个数。

我们把这样的非零向量叫特征向量，把那个倍数叫特征值。先从这个“整体乘几倍”的含义理解，再学习怎样计算。

矩阵作用在一个向量上，通常会改变长度也改变方向。但某些向量只被放大、缩小、反向或压成0，仍留在原来那条直线上。我们寻找的就是这种特殊方向。

若非零向量v满足Av=λv，就称λ为特征值、v为对应特征向量。λ是缩放倍数：2放大两倍，−1反向但长度不变，0表示这个方向被压掉。零向量必须排除，因为它对所有λ都满足0=λ·0，不能提供任何特殊方向的信息。

将式子移项成 $(A-\lambda I)v=0$，这是关于v的齐次方程。要有非零解，方阵A−λI必须不满秩，等价于 $\det(A-\lambda I)=0$，称特征方程。求解分两阶段：先解这个关于λ的代数方程，再对每个λ消元求v，不能只求出λ就停。

同一特征向量的任意非零倍数仍属于同一特征值，所以题目常要求写一个代表，或写全部对应向量的组合。不同特征值的特征向量一定线性无关；同一特征值内则要另外检查独立性。

一些数值关系可以查错：特征值相加时，重复出现的根要重复计算；例如根2、2、3要相加为7。这个总和等于迹tr A，即主对角线元素之和；相乘等于det A；有零特征值正好说明A不可逆。若Av=λv，则 $A^2v=\lambda^2v$，一般多项式满足 $p(A)v=p(\lambda)v$；A可逆时逆矩阵在该方向缩放 $\frac1\lambda$。

最后把算出的向量代回Av=λv，通常只需几次乘加，就能发现消元符号或配对错误。

Av=λv意味着A把v所在直线映回自身；在该方向运算像乘一个数。要找到该方向，先让A-λI失去满秩，再求其零空间。

先独立作答；卡住时看提示，完成后再对照解析。

如果一个变换只把横向放大2倍、纵向放大3倍，计算就很简单：分别乘2、乘3即可。它的矩阵只有对角线上的2和3，不会把两个坐标混到一起。

有的矩阵在原坐标下看起来很复杂，但换一组坐标轴后，也可能变成这种“各方向分别乘数”的形式。上一节的特征向量正好提供了这些候选方向，因为变换后它们仍是自身的倍数。

本节要判断：能不能找到足够多、彼此不能替代的特征方向，把整个空间都表示出来？能做到时，就能把矩阵化为对角矩阵。

同一个平面动作，选不同坐标轴会有不同矩阵表示。如果恰好把坐标轴选在特征方向上，每个方向只独立缩放、不混入其他方向，矩阵就会变成对角形。这是对角化想做的事。

用P的列记录新坐标轴在旧坐标中的向量。新坐标先乘P回到旧坐标，经过A，再乘P⁻¹回到新坐标，所以新表示是 $P^{-1}AP$。这种关系叫相似；P必须可逆，因为新坐标轴要足够独立，能表示每个向量。

若找到n个线性无关特征向量 $v_1,\ldots,v_n$，把它们作为P的列，并按相同顺序把λ₁到λₙ放进对角矩阵Λ。由于每列都有Avⱼ=λⱼvⱼ，就有AP=PΛ，因而 $P^{-1}AP=\Lambda$。列顺序与特征值顺序必须配对。

因此n阶矩阵可对角化的充要条件是有n个独立特征向量。n个不同特征值自动够用；重特征值不自动失败，要看每个特征值的解空间提供几个独立向量。单位矩阵特征值全为1却能对角化；某些带非零上三角项的重根矩阵只能提供一个方向，就不行。

对角化最直接的用途是矩阵幂：$A^m=P\Lambda^mP^{-1}$，中间相邻的P⁻¹P连续抵消，对角阵只需给每个对角数求幂。相似还保留特征多项式、迹、行列式和秩，但这些量相同只是必要条件，一般不足以证明两矩阵相似。

AP的第j列是Avⱼ=λⱼvⱼ，所以AP=PΛ。左乘$P^{-1}$得到对角化；连续相乘中$P^{-1}P$消去，故Aⁿ=PΛ$^{n}P^{-1}$，矩阵幂问题变成标量幂。

先独立作答；卡住时看提示，完成后再对照解析。

坐标轴若互相垂直，长度和角度比较容易计算。上一节为了简化矩阵而换坐标时，能不能同时保证新坐标轴仍互相垂直？

一般矩阵未必可以，但对实对称矩阵可以。这里“实”表示元素都是实数，“对称”表示主对角线两侧对应的数相同，例如 $\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$。

对这个例子，可以找到沿 $(1,1)$ 和 $(1,-1)$ 的两个特征方向；它们正好垂直。下面说明这种保证，以及计算时怎样把向量长度也调整为1。

一般矩阵未必能找够特征方向，实对称矩阵却有更强保证：特征值都是实数，而且总能找到n个互相垂直、长度为1的特征向量。这意味着可以只通过旋转或镜像坐标轴，就让各方向独立缩放。

把这些标准正交特征向量排成Q的列，由 $Q^{-1}=Q^T$，对角化写作 $Q^TAQ=\Lambda$，叫正交对角化。和一般P相比，Q还保持长度与夹角，因此常适合解释二次型的形状。

为什么不同特征值的方向自动垂直？若Au=λu、Av=μv，对称性让 $(Au)^Tv=u^TAv$，于是 $(\lambda-\mu)u^Tv=0$。当λ≠μ，内积只能为0。这里必须是不同特征值，不能删掉条件。

如果一个特征值重复，先消元找出对应特征空间的一组独立向量，再在这组内部做施密特正交化，最后单位化。线性组合仍留在同一特征空间，所以不会破坏特征向量性质；不同特征空间原本已正交，不需要混着处理。

完整步骤是查A是否实对称、算特征值、分组求独立特征向量、组内正交化、全体单位化、按配对顺序组成Q和Λ。最后既检查 $Q^TQ=I$，也检查AQ=QΛ：前者验正交，后者验特征配对，两者任务不同。

Au=λu、Av=μv且Aᵀ=A，有λuᵀv=(Au)ᵀv=uᵀAv=μuᵀv；若λ≠μ，只能uᵀv=0。于是不同特征方向自然垂直。

先独立作答；卡住时看提示，完成后再对照解析。