线性方程组的解结构

方程 $x+y=0$ 的解不只有 $(0,0)$。取x=1，y就为−1；取x=2，y就为−2；取x=−3，y就为3。

可以把x统一记成任意数t，这样全部解写成 $(x,y)=(t,-t)=t(1,-1)$。只需要一个向量 $(1,-1)$，乘上不同的t，就能列出所有解。

方程组右端都是0时，也可以寻找这样一组“组合出全部解的向量”，这就是基础解系要解决的问题。

齐次方程组右端全为0，写Ax=0。把所有未知数都取0永远成立，所以它不是先问“有没有解”，而是问“有没有非零解，以及所有解怎样描述”。

消元后，每一个主元给出一个独立约束。若有n个未知数、秩为r，就剩n−r个可以自由选的变量；它们叫自由变量，其余主元变量由它们决定。r=n时没有自由度，只剩零解；r<n时可以选非零参数，得到非零解。

例如x+y+z=0只有一个独立约束，先令y=s、z=t，x就必须为−s−t，因此全部解为 $s(-1,1,0)+t(-1,0,1)$。自由选s、t不会违反方程，且每个解都能这样写，这才叫写出了全部解。

把参数依次设为“一个1、其余0”，得到的n−r个独立解叫基础解系。它不是任意找几个解，而是既不能冗余，又能线性组合出所有解。零向量不用列入，因为全体参数取0自然得到它，而且含零向量的组一定相关。

齐次解相加、乘实数仍是解，所以解集形成经过原点的线性空间。几何上一个自由参数常对应一条线，两个对应一个平面；自由参数数目就是解空间维数。这里数的是独立约束r，不是纸面上方程行数，多写一条重复方程不会减少自由度。

若最简方程x₁+2x₃=0、x₂-x₃=0，令自由变量x₃=t，得到x=t(-2,1,1)ᵀ。一个参数对应一条通过原点的直线，而不是一个唯一点。

先独立作答；卡住时看提示，完成后再对照解析。

把上一节的方程改成 $x+y=1$。这次 $(0,0)$ 不再是解，但 $(1,0)$ 是一个解。

从 $(1,0)$ 出发，给x加t、给y减t，两者的和仍为1。因此所有解可以写成 $(1,0)+t(1,-1)$。这里，第一部分负责让右端等于1，第二部分怎样变化都不会改变这个和。

这就是“一个特解加上对应齐次方程的全部解”的意思。下面先判断哪些方程组有解，再把这个写法推广。

非齐次方程Ax=b先要检查约束会不会互相矛盾。例如x+y=1与2x+2y=2其实同一条件；若第二式右端改为3，就与第一式不相容。消元会把这种矛盾暴露成0=1。

系数矩阵的秩r(A)数左边的独立信息，增广矩阵r(A|b)还把右端常数纳入。两者相等时没有“左边全0、右边非0”的矛盾行，方程组有解；增广秩更大则无解。先过这一关，再谈解的数量。

若有解且共同秩等于未知数个数n，每个变量都被确定，解唯一；共同秩小于n，就有n−r个自由变量，解无穷多。仅r(A)=n不一定保证有解，因为矩阵可以有更多行，右端仍可能矛盾；它只保证有解时唯一。

怎样写全部解？先找一个特解η，再加对应齐次方程Ax=0的任意解ξ。因为 $A(\eta+\xi)=b+0=b$；反过来任意两个非齐次解相减，右端抵消为0，所以它们的差一定是齐次解。于是全部解是η加上基础解系的任意线性组合。

几何上，这是把过原点的齐次解空间平移到η的位置。b≠0时原点不在解集中，所以一般不能把非齐次解集称线性空间；两个非齐次解相加会得到右端2b。求两组方程的公共解，则把约束上下拼起来，同时满足后再统一消元。

两个特解η₁、η₂之差满足A(η₁-η₂)=b-b=0；反之η+ξ代回为b+0。于是解集是把齐次解空间整体平移到η。

先独立作答；卡住时看提示，完成后再对照解析。

方程组是 $x+y=1$、$x+ay=b$。a和b是题目暂时没有给出具体数值的两个条件。

当a=1时，两式左边一样：如果b=1，它们说的是同一件事；如果b=2，就同时要求x+y既等于1又等于2，不可能满足。

可见，a、b取不同值，答案可能完全不同。含参数题要做的，就是先找出这类变化发生在哪里，再把各类情况分别说清。

参数不是新的未知数，而是暂时没给定的条件；它改变时，方程组的结构可能变。消元过程中每次想除以a−1，都在暗中要求a≠1，因此必须把a=1留下单独检查。

用两式x+y=1、x+ay=b演示。相减得到 $(a-1)y=b-1$。若a≠1，才能除，得到 $y=\frac{b-1}{a-1}$，再回代求x；若a=1，原式变成 $0=b-1$，这已不再决定y，而是在判断两条约束是否矛盾。

当a=1、b=1，两条方程重合，y可以自由选，产生无穷多解；当a=1、b≠1，出现0等于非零数，无解。不能把一般公式分母代成0后就宣布“无解”，因为一般公式本来就不适用于这一分支。

方阵题可先算行列式找出可逆范围：非零时唯一解，等于0的参数值回到增广矩阵看秩。也可以直接消元找可能消失的主元。尽量先用不除参数的操作保留完整信息，再分情况。

最后整理成互不重叠且覆盖全部允许参数的答案：每一支说明无解、唯一解还是无穷多；有解时按题意给具体解或通解。每支挑一个具体参数代回有助于发现漏项，但试值只作核验，不能代替整支的证明。

x+y=1、x+ay=b，相减得(a-1)y=b-1。如果a≠1，y=$\frac{b-1}{a-1}$，x=$\frac{a-b}{a-1}$；如果a=1，剩0=b-1，是否有解取决于b是否1。

先独立作答；卡住时看提示，完成后再对照解析。