不定积分

对 $x^2$ 求导，得到2x；对 $x^2+5$ 求导，仍得到2x；对 $x^2-3$ 求导，也得到2x，因为常数求导后都是0。

现在只告诉你“求导后的结果是2x”，让你找原来的函数，你就不能只回答x²。上面三个都符合，还有无数个只差一个常数的答案。

因此可以把它们合写成 $x^2+C$，C代表任意常数。不定积分要做的，就是把这种“反过来找原函数”的结果写完整。

已知位置是t²或t²+5，求速度都得到2t。现在反过来，已知速度2t，能找回位置的变化规律，却不知道最开始在哪里；这就是积分结果为什么带一个任意常数。

若 $F'(x)=f(x)$，称F是f的一个原函数。不定积分 $\int f(x)\,dx=F(x)+C$ 表示这一整组原函数：积分号∫提示反向求导，dx说明对哪个变量操作，C是不会随x变的常数。它不是一个固定数值；以后定积分才计算指定范围内的累计量。

在同一个区间内，两个原函数相减后导数为0，所以相差常数。这里“区间”重要：若定义域被0隔成两段，各段的常数可以独立选择，不能强迫两侧共用一个初始位置。

基本公式都能反向验算。$\int x^a dx=\frac{x^{a+1}}{a+1}+C$（a≠−1，在相应定义区间内），因为求导会把a+1乘回来；a=−1时分母为0，必须单独记 $\int\frac1x dx=\ln|x|+C$。指数eˣ积分仍为eˣ，aˣ（a>0且a≠1）积分为 $\frac{a^x}{\ln a}$。

三角基本对：sin积分为−cos，cos为sin，sec²为tan，csc²为−cot，sec·tan为sec，csc·cot为−csc，都要加C。另有 $\int\frac1{1+x^2}dx=\arctan x+C$、$\int\frac1{\sqrt{1-x^2}}dx=\arcsin x+C$（|x|<1）。先从已会的导数表反查，不要把负号靠猜。

和差可拆开、常系数可提出，因为求导也有线性性质；乘积却不能把两个积分直接相乘。做完后对答案求导，能恢复原来的被积函数，才是最直接的检查。

若F、G都是原函数，则(F-G)'=0，中值定理说明F-G在区间上为常数。线性性质来自求导线性：常系数可提出，和可拆分。乘积的积分不能直接写成积分的乘积。

先独立作答；卡住时看提示，完成后再对照解析。

先求一次导数：对 $\sin(x^2)$ 求导，要先对外面的sin求导，再乘里面x²的导数，得到 $2x\cos(x^2)$。

现在反过来，要求 $2x\cos(x^2)$ 的积分。看到cos里面的x²，再看到外面的2x，便可以认出刚才那次求导的结果。把x²暂时记成u，连同 $du=2x\,dx$ 一起替换，积分就变成 $\int\cos u\,du$。

换元就是把这两部分配在一起，让复杂的式子变成已经会算的式子。

看到 $2x\cos(x^2)$，先认出内层x²，再发现旁边的2x正好是它的导数。这提示我们把x²整体改名u。新名字的变化量也必须跟着改：$du=2x\,dx$，因此原积分变成 $\int\cos u\,du$，结构一下就简单了。

这叫第一换元法，本质是反向使用链式法则：$[F(g(x))]'=f(g(x))g'(x)$，所以 $\int f(g(x))g'(x)dx=F(g(x))+C$。不要只把括号改成u而仍留下x和dx；换完后应全部用同一种变量表达。

若差一个常数，可以补齐再抵消。例如 $\int\frac{x}{1+x^2}dx$，取u=1+x²后有 $x\,dx=\frac12du$，系数二分之一必须保留。若差的是一个复杂的变量因子，就不能当常数随便提出，需要重新表达或换方法。

第二换元从另一边入手，主动把x写成容易简化的表达式 $x=\varphi(t)$，连同 $dx=\varphi'(t)dt$ 替换。根式 $\sqrt{a^2-x^2}$ 常取x=a sin t，$\sqrt{a^2+x^2}$ 可取x=a tan t，$\sqrt{x^2-a^2}$ 可取x=a sec t（a>0）。目的是利用三角恒等式消掉根号。

换元要选可逆且适当光滑的分支。例如x=2sin t取 $-\frac\pi2<t<\frac\pi2$，cos t>0，才有 $\sqrt{4-4\sin^2t}=2\cos t$；不限制时应写 $2|\cos t|$。不定积分最后换回原变量，再求导核对。

对F(g(x))求导正好得到f(g(x))g'(x)，所以换元是在识别外层函数的原函数。不能只把g(x)改成u而仍保留原来的dx。

先独立作答；卡住时看提示，完成后再对照解析。

要计算 $\int xe^x\,dx$，里面既有x又有指数函数。只把x改名，并不会让另一部分变得更简单。

先回想乘积求导：$(xe^x)'=e^x+xe^x$。我们要积的 $xe^x$ 已经出现在右边，只是多了一项 $e^x$。把它移开，就有 $xe^x=(xe^x)'-e^x$，积分后得到 $xe^x-e^x+C$。

这说明有时可以借一次乘积求导，把原积分换成更容易的积分。分部积分就是把这个办法写成通用公式。

遇到x eˣ，换一个变量未必能同时消掉两种结构，但x求导会变成1，eˣ积分又不变复杂。这提示把“谁求导、谁积分”重新分工。

由乘积微分 $d(uv)=u\,dv+v\,du$ 移项并积分，得到 $\int u\,dv=uv-\int v\,du$。它把原来让v求导的那部分，换成让u求导；右边仍有积分，选择得好才会更简单。

每次明确写四个量：u选什么，dv是什么，对应du和v是什么。通常多项式、对数、反三角函数适合放在u，因为求导会降次或去掉复杂函数；dv则应容易积分。这个经验不是强制顺序，最终标准是剩下的积分是否更好做。

看似只有一个因子的ln x，也可以写成 $\ln x\cdot1$：让u=ln x、dv=dx，得到 $x\ln x-\int1\,dx$。补乘1只是为了看清乘积结构，没有改变函数。

有时分部两次后又出现原积分，例如 $\int e^x\sin x\,dx$。给它取名I，再把两次得到的等式联立、移项，就像解一个关于I的方程；这叫循环积分。有时剩下的是次数n−1的同类积分，就得到递推关系，需配合低阶起点才能真正算出答案。

最后求导检查uv这一项和剩余项的负号。分部积分最常见的错误不是公式记不住，而是第二次积分本身的负号与公式的减号叠加时漏掉一个。

∫x eˣdx令u=x、dv=eˣdx，du=dx、v=eˣ，得x eˣ-∫eˣdx=(x-1)eˣ+C。剩下的积分比原来少了x，达到了简化目的。

先独立作答；卡住时看提示，完成后再对照解析。

分式 $\frac1{x(x+1)}$ 看起来不好积分。但试着把两个简单分数相减：$\frac1x-\frac1{x+1}=\frac{x+1-x}{x(x+1)}=\frac1{x(x+1)}$。

于是原积分变成两个已经会算的积分：$\int\frac1x\,dx-\int\frac1{x+1}\,dx$。关键一步发生在积分之前——先把式子改写成容易识别的部分。

本节继续处理类似情况：分子次数太高时怎么办、分母不能直接拆开时怎么办，以及怎样整理三角式与根式。

不定积分选法时先认外形。有理函数是两个多项式相除，例如 $\frac{x+1}{x^2-x}$。若分子次数不比分母低，先做多项式除法，拆出多项式，再处理剩下的真分式，避免把明显可约的结构藏在分母里。

分母分解后，尝试把大分式拆成基本小分式。$\frac1{x(x+1)}$ 不能直接写成 $\frac1x+\frac1{x+1}$，而要先设 $\frac Ax+\frac B{x+1}$，通分比较系数解出A、B。等值变形的依据是整式恒等式，不是分母看起来有两个因子就随意拆。

列待定系数时要列全：重因子 $(x-a)^m$ 对应从 $\frac{A_1}{x-a}$ 到 $\frac{A_m}{(x-a)^m}$；实数范围不可约的二次因子q(x)对应 $\frac{Bx+C}{q(x)}$，若二次因子也重复，就逐次列到相应幂。分子次数要比分母因子低，才能覆盖一般情况。

三角式先找便宜的恒等变形。例如sin²x用 $\frac{1-\cos2x}{2}$ 降幂，剩下都是基本表；若出现一项正好是另一项的导数，优先换元。必要时令 $t=\tan\frac x2$，用 $\sin x=\frac{2t}{1+t^2}$、$\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}$、$dx=\frac{2dt}{1+t^2}$ 转成有理式，但须在合法分支分别处理。

简单根式也先看能否直接幂积分，或令 $t=\sqrt{ax+b}$。不要见到根号就立刻做复杂三角换元。整体顺序是分类、简化、基本积分、求导验算；定义区间不能穿过被积函数原来的无定义点。

$\frac{1}{x(x+1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+1}$，通分得1=A(x+1)+Bx。比较常数A=1、x系数A+B=0，所以B=-1。这不是把分母乘积直接拆开，而是解一个恒等式。

先独立作答；卡住时看提示，完成后再对照解析。