导数的应用

沿一条山路从左往右走，上坡时高度增加，下坡时高度减小。把横向位置记为x、高度记为f(x)，切线斜率的正负就对应上坡和下坡。

如果先上坡、后下坡，中间便有一个附近的高点。但远处可能还有更高的山顶，所以“附近最高”与“整段路线最高”不是同一个问题。

这一节把这些观察转成计算：用导数判断哪里增、哪里减，再找需要比较的点，并检查范围两端。

导数符号把“此处朝上还是朝下”变成可计算的判断。在一个区间内处处f'>0，利用中值定理可知任意两点的输出差为正，所以函数严格递增；f'<0则递减。这是整段结论，不能只测一个点的导数就宣布全区间递增。

极大值只要求比附近高，最大值则要比指定范围里所有点都高。一个小山顶可以是局部极大，却不是整条路线最高处。“极值点”是输入位置，“极值”是那里的函数值，回答时别只写一个不说明含义的数。

内部可导极值点必须有f'=0，称驻点；但驻点只是候选。x³在0导数为0，却仍从负到正一路增加，不是极值。$|x|$ 在0有最小值但不可导，所以寻找候选时还要保留不可导点，不能只解f'=0。

一阶判别看候选点两侧导数符号：正变负是先升后降，得到极大；负变正是先降后升，得到极小；符号不变通常只是暂时变平。二阶判别是快捷条件：若f'(a)=0，f''(a)>0则极小，f''(a)<0则极大；等于0时信息不足，回到两侧符号。

求闭区间最值时，先利用连续性保证最值能取到，再列内部驻点、不可导点和两端点，代回原函数统一比较。端点只需单侧比较，不必满足导数为0。开区间或无穷区间还要看边界趋势，不能机械照搬端点表。

内部极大点附近f(a+h)-f(a)≤0，右差商≤0、左差商≥0；若共同导数存在，只能为0。这个推导也解释为何端点或不可导点不能直接要求f'=0。

先独立作答；卡住时看提示，完成后再对照解析。

骑车上坡，有的坡越往前越陡，有的坡越往前越平。两种路的高度都在增加，区别在于倾斜程度怎样变化。

函数也是这样：一阶导数告诉我们此处是在上升还是下降；再看一阶导数本身是增大还是减小，就知道斜率怎样变。这个“再看一次变化”的量，是二阶导数。

本节先用它描述曲线的弯曲，再看弯曲方式改变的位置，以及曲线在远处可能越来越靠近的直线。

两条曲线都上升，仍可能一个越走越陡、一个越走越平。上升下降看f'，斜率怎样改变看f''。若f''>0，切线斜率不断增加，形状像碗口朝上，本课称“凹向上”；f''<0则相反。这样直接描述弯曲方向，可避免只背“凹凸”两个字造成混淆。

拐点是弯曲方向真正换边的位置。例如x³的二阶导6x从负变正，原点是拐点；x⁴的二阶导12x²虽然在0为0，两侧却都朝上，原点不是拐点。因此解f''=0只给候选，还要核对两侧变号及曲线在该点连续。候选也可能出现在二阶导不存在处。

渐近线描述曲线越来越靠近哪条直线。若x从至少一侧靠近a时函数值趋正或负无穷，x=a是竖直渐近线。若x趋正无穷或负无穷时f(x)趋b，y=b是相应方向的水平渐近线，两端要分别看。

有些函数一直增长，却贴近一条斜线。例如 $f(x)=x+\frac1x$，与y=x的高度差是 $\frac1x\to0$。一般先求 $k=\lim\frac{f(x)}x$，再求 $b=\lim[f(x)-kx]$；两者有限且k≠0，才得到斜渐近线y=kx+b。仅知道f趋无穷并不说明没有渐近线。

最后按信息画图：定义域决定哪里不能画，对称性节省一半工作，过轴点确定位置，一阶导给增减与极值，二阶导给弯曲，极限给边界趋势。渐近线可以被曲线穿过，它不是禁止跨越的墙。

若f(x)-(kx+b)→0，除以x后得$\frac{f(x)}x$→k，再减kx求出截距b。作图顺序：定义域与对称性、交点、极限和渐近线、单调极值、凹凸拐点，最后连接。

先独立作答；卡住时看提示，完成后再对照解析。

一条笔直的陡坡很难爬，但方向始终没变；一个很小的圆形弯道可能并不陡，沿着它走却要不断转向。因此斜率大，不等于转弯急。

要衡量弯得有多急，可以比较：沿曲线走同样短的一段路，朝向转了多少。朝向转得越多，弯曲程度就越大。小圆每走一小段就转很多，大圆转得慢一些。

数学把这个“每单位路程的转向快慢”叫曲率。下面再把路程、方向角与导数联系起来。

一条直线即使很陡，沿着走时方向也没变；一个小圆即使切线暂时水平，稍走一点方向就转得很快。曲率衡量的是“每走一段实际路程，方向转了多少”，与斜率表示的朝向不是同一件事。

用s表示沿曲线量的弧长，θ表示切线与横轴的夹角，曲率记κ（读卡帕），即方向角对弧长变化率的绝对值。二阶可导图像 $y=f(x)$ 的公式为 $\kappa=\frac{|y''|}{(1+y'^2)^{\frac32}}$。分子反映斜率变化，分母把横向距离修正为真正沿曲线走的距离。

计算按固定步骤：先求y'和y''，再把题目给的点代入，最后代公式。绝对值保证曲率非负。不能只用|y''|作答案，除非该点恰有y'=0。

曲率半径ρ（读柔）在κ>0时定义为 $\rho=\frac1\kappa$。小半径圆转弯急，所以曲率大；大半径圆转得慢，所以曲率小；直线曲率为0，没有有限的曲率半径。

曲率圆是在某点模拟局部弯曲的圆：与原曲线相切，向同一侧弯，半径取ρ。例如x²在原点y'=0、y''=2，曲率2、半径二分之一，圆心在向上的法线上 $(0,\frac12)$。这个圆只是在附近贴合，不是说整条抛物线都是圆。

若用参数t给出曲线，则 $\kappa=\frac{|x'y''-y'x''|}{(x'^2+y'^2)^{\frac32}}$，这里导数全部对t求，并要求 $x'^2+y'^2>0$。混用对x和对t的导数会改变公式含义。

切线倾角θ满足tanθ=y'，因此$\frac{d\theta}{dx}$=$\frac{y''}{1+(y')^2}$；微小弧长满足$\frac{ds}{dx}$=$\sqrt{1+(y')^2}$，两者相除并取绝对值即曲率。弧长积分的完整计算将在积分应用章学习。

先独立作答；卡住时看提示，完成后再对照解析。

用20米围栏围一个长方形。长6米、宽4米，面积24平方米；长5米、宽5米，面积25平方米；长8米、宽2米，面积16平方米。围栏一样长，面积却不同。

设一条边长x米，由两条长边加两条短边共20米，可知另一条边长 $10-x$ 米，面积就是 $x(10-x)$。现在“哪种围法面积最大”就变成了“x取多少时这个式子最大”。

下面先把实际问题写成函数，再用已学的增减和最值方法计算。

应用题的第一步不是求导，而是把目标写成函数。固定周长围长方形，想要最大的是面积，约束却是周长；先用周长把另一条边表示出来，才能把“最大面积”转成一个变量的问题。

依次写四项：变量代表什么、单位是什么、允许范围是什么、要优化的量是什么。例如周长L>0，设一边x，另一边为 $\frac L2-x$，实际边长都要正，因此 $0<x<\frac L2$。目标面积才是 $A(x)=x(\frac L2-x)$。没有范围，算出的驻点可能没有实际意义。

求导找到候选后，还要说明为什么是最大或最小：看两侧增减、比较端点，或检查开放边界的趋势。若某端点表示图形退化，要按题意判断允许不允许，不能自动纳入。

导数也能证明不等式。要证明左边≥右边，先把两边相减成F，尝试证明F的最小值≥0。例如 $e^x\ge1+x$ 变为 $F=e^x-1-x$，导数符号说明0是全局最低点，而F(0)=0，结论与等号条件同时得到。

讨论方程根数时，把“等式成立”看成图像与横轴相交。连续与端点异号保证至少一个，严格单调保证至多一个；若参数会改变极值高度，就按高于0、等于0、低于0分别讨论。等号情形常是根合并的位置，不能夹在两种情况里漏掉。

周长为L，边长x、$\frac L2$-x，要求0<x<$\frac L2$。面积A=x($\frac L2$-x)，A'=$\frac L2$-2x，在x=$\frac L4$由正变负，最大面积$\frac{L^2}{16}$。约束把二维问题降成一个变量。

先独立作答；卡住时看提示，完成后再对照解析。