导数与微分

一辆车的位置用 $s=t^2$ 记录：t表示经过的秒数，s表示离起点多少米。1秒时在1米处，2秒时在4米处，这一秒平均前进了3米。

可车并不是每一瞬间都以这个速度前进。只看1秒到1.1秒，它从1米到1.21米，平均速度是 $\frac{1.21-1}{0.1}=2.1$ 米每秒；只看1秒到1.01秒，得到2.01米每秒。

时间段越短，算出的速度越接近2。我们用这个靠近的结果表示“恰在1秒这一刻的速度”。导数就是把这种求某一刻变化快慢的办法推广到一般函数。

平均速度用位置的变化量（位移）除以经历的时间。例如位置 $s(t)=t^2$，从t=1走到t=1.1，位置从1变成1.21，平均速度为 $\frac{1.21-1}{0.1}=2.1$。把终点改成1.01，得到2.01；间隔越小，越接近“此刻”的速度2。

一般把起点记a、输入变化记h。起点输出f(a)，终点输出f(a+h)，两者相减才是输出变化。因此平均变化率为 $\frac{f(a+h)-f(a)}h$，叫差商。h可以正也可以负，但计算商时不能为0。

让h从两侧趋0，差商若趋同一个有限值，就定义为导数 $f'(a)$，读“f在a处的导数”。它在速度问题里是瞬时速度，在图像里是切线斜率。两个点连成割线，第二点不断靠近第一点，割线方向的极限才是切线方向。

连续要求x趋于a时f(x)趋于f(a)；可导还要求左右差商趋于同一个有限值。例如 $|x|$ 在0没有断开，右边斜率1、左边斜率−1，却不能给同一个切线斜率，所以连续但不可导。若差商无限增大，也不算有有限导数，即使图上可能出现竖直切线。

为什么可导一定连续？有 $f(a+h)-f(a)=h\cdot\frac{f(a+h)-f(a)}h$。h趋0，差商趋有限数，乘积就趋0，说明输出确实接近原来的f(a)。这是由可导推出连续的理由，方向不能倒用。

对f(x)=x²，$\frac{(a+h)^2-a^2}{h}=2a+h$（h≠0），极限2a。切线经过(a,a²)，斜率2a，所以方程y-a²=2a(x-a)。若斜率非零，法线斜率为其负倒数。

先独立作答；卡住时看提示，完成后再对照解析。

上一节从很小的变化算导数。每遇到一个新式子都从头取极限，会越来越费时。能不能把常见结果整理成可重复使用的计算规则？

例如 $x^2$ 的导数是2x，$x^3$ 的导数是3x²；它们分别告诉我们这两个函数在不同x处变化有多快。现在遇到 $x^2+x^3$，可以把两部分的变化加起来；遇到 $\ln(1+x^2)$，却要先分清“里面算平方加1，外面再取对数”这两步。

下面先整理简单规则，再学习怎样处理由多步计算组成的函数。

求导先看表达式最外面在做什么，不要从左到右随意下手。$x e^x$ 最外面是乘法；$\ln(1+x^2)$ 最外面是对数，里面才是平方加1。结构不同，法则不同。

先建立基本表：常数的导数为0，因为它不变化；x的导数为1；$(x^a)'=ax^{a-1}$ 在函数有实数定义且可导处使用。指数的导数为 $(e^x)'=e^x$、$(a^x)'=a^x\ln a$（a>0且a≠1）；对数为 $(\ln x)'=\frac1x$（x>0）、$(\log_a x)'=\frac1{x\ln a}$。底数变量x与指数变量x不能混套公式。

和差逐项求导，常系数可提出。乘积则要顾及两个因子都变化：$(uv)'=u'v+uv'$，两项分别让一个因子求导，另一个保留。商为 $(\frac uv)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$，分母v不能为0。取u=v=x试验就知道乘积不能写成u'v'。

复合函数用链式法则 $[f(g(x))]'=f'(g(x))g'(x)$：先求外层的变化率，再乘内层相对于x的变化率。例如 $(\sin(x^2))'=\cos(x^2)\cdot2x$，外层求导后里面仍是x²。漏乘2x，相当于忘记内层也在加速变化。

三角函数输入按弧度：sin、cos、tan的导数分别为cos、−sin、$\frac1{\cos^2x}$。记号 $\sec x=\frac1{\cos x}$、$\csc x=\frac1{\sin x}$、$\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}$；其导数依次为sec·tan、−csc·cot、−csc²。使用这些公式时，分母不能为0。

反三角函数：$(\arcsin x)'=\frac1{\sqrt{1-x^2}}$，$(\arccos x)'=-\frac1{\sqrt{1-x^2}}$（均要求|x|<1）；arctan与arccot的导数分别为 $\frac1{1+x^2}$ 与 $-\frac1{1+x^2}$。这些公式来自反函数关系，符号对应原函数的增减方向，不是随意选择正负。

若y=f(x)有可导反函数且f'(x)≠0，对 $f^{-1}(f(x))=x$ 求导得 $(f^{-1})'(y)=\frac{1}{f'(x)}$。把y=sin x的x限制在−二分之π到二分之π之间的开区间，cos x=$\sqrt{1-y^2}$>0，从而得到arcsin的导数。

先独立作答；卡住时看提示，完成后再对照解析。

一个点沿圆 $x^2+y^2=1$ 移动。它向右移动时，x改变了，y也必须跟着改变，否则通常会离开这个圆。

如果想知道圆在某个位置有多倾斜，需要算y随x改变得多快。但这一次题目没有把y单独写在等号左边，而是把x和y放在同一个关系里。

我们仍可以对这个关系求导，只是不能把y当成不变的数。另一种写法是用时间t同时记录x和y；本节也会说明怎样从这种记录中求出斜率。

圆的方程 $x^2+y^2=1$ 没有直接告诉你y等于什么，但沿圆移动时，x和y都在变化。假设在所讨论的位置可把y看作x的函数，求x导数时就要记住y也随x动：$(y^2)'=2y\,y'$，多出来的y'来自链式法则。

操作分三步：两边对x求导；把含y'的项放一边；在系数不为0时除过去。圆的例子得到 $2x+2yy'=0$，因此 $y'=-\frac xy$，要求y≠0。y=0时这条公式不能直接用，需要单独讨论，不等于整条曲线不存在。

常见简写是 $F(x,y)=0$ 时 $y'=-\frac{F_x}{F_y}$。这里 $F_x$ 表示暂时固定y只对x求导，$F_y$ 相反，多元章会正式讲。要使用隐函数定理，还需F在附近有连续偏导，且所讨论点 $F_y\ne0$；现在用逐项链式求导即可，不必先背这个新记号。

参数方程给x和y一个共同的中间变量t，例如 $x=t^2,y=t^3$。每单位t，x改变多少由 $\frac{dx}{dt}$ 描述，y由 $\frac{dy}{dt}$ 描述，所以 $\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$，要求$\frac{dx}{dt}$≠0。再求y关于x的二阶导时，先对t求导，再除一次$\frac{dx}{dt}$，不能把二阶导直接相除。

若底数与指数都随x变化，例如 $y=x^x$，固定指数的幂公式不适用。x>0时先取对数成为 $\ln y=x\ln x$，把乘方变乘积，再求导，最后乘回y。取对数前先确认所需正值条件。

x²+y²=1两边求导：2x+2y y'=0，所以y'=-$\frac xy$，要求y≠0。参数二阶导则对y'先关于t求导，再除以$\frac{dx}{dt}$，不能简单写$\frac{\psi''}{\varphi''}$。

先独立作答；卡住时看提示，完成后再对照解析。

车速从每秒2米增加到每秒3米，再到每秒4米，说明不只是位置在变，速度本身也在变。位置对时间求一次导数得到速度，再求一次就得到速度变化的快慢，也就是加速度。

导数还有一个实用用途：估算。例如正方形面积是4时边长是2；面积略增到4.04，边长会增加一点。利用平方根函数在4附近的变化率，可以估计边长增加约0.01，因此新边长约为2.01。

下面分别学习“继续求导”和“用很小的变化估算”这两件事。

导数本身也会变化。位置对时间求导得到速度，速度再求导得到加速度；这第二次求导写作f''，第n次写 $f^{(n)}$。它不是f的平方或n次幂。例如x³依次求导得到3x²、6x、6、0，可以逐层核验。

微分用切线预测一个小变化。以 $y=x^2$ 从x=1变到1+h为例，实际增量 $\Delta y=(1+h)^2-1=2h+h^2$；切线只预测 $dy=2h$。当h很小时，h²比h小得更快，所以预测接近真实，但一般不完全相等。

定义 $dy=f'(x)dx$，dx是选定的输入小变化，dy是对应线性预测。可导意味着 $\Delta y=f'(x)\Delta x+o(\Delta x)$；o表示剩余误差除以输入变化后趋0。近似时要选离目标近、函数值容易算、导数有限的基准点。

一阶微分有一个方便性质：若y=f(u)，无论u独立变化，还是u=g(x)，都可写 $dy=f'(u)du$。后一种情况把 $du=g'(x)dx$ 代回，就恢复链式法则。这叫一阶微分形式不变性，不能据此给二阶微分省掉额外项。

四则微分同样来自求导：$d(u+v)=du+dv$，$d(cu)=c\,du$（c固定），$d(uv)=u\,dv+v\,du$，$d(\frac uv)=\frac{v\,du-u\,dv}{v^2}$（v≠0）。先辨认结构，再套规则。

高阶乘积用莱布尼茨公式 $(uv)^{(n)}=\sum_{k=0}^n\binom nk u^{(k)}v^{(n-k)}$。$\binom nk$ 表示n次求导里选k次落在u上的方式数，零阶导就是函数自身。先试n=2，会得到 $u''v+2u'v'+uv''$，中间的2来自两种求导顺序。

重复求导$e^{ax}$每次乘a，得到$a^{n}e^{ax}$；sin x每求导一次相位前进$\frac\pi2$，所以第n阶导为sin(x+$\frac{n\pi}{2}$)。对x eˣ，乘积高阶式只有k=0、1两项，得(x+n)eˣ。

先独立作答；卡住时看提示，完成后再对照解析。

把 $y=|x|$ 画出来，会得到一个V形：原点左边是一段斜向下的直线，右边是一段斜向上的直线。两段没有断开，却在原点拐了一个尖角。

左边直线的斜率是−1，右边是1。在原点到底该用哪一个斜率？两边给不出同一个结果，所以函数在这里连续，却没有导数。

分段函数经常遇到这样的问题。本节把“能不能接上”和“接上后有没有同一个斜率”分开检查，再用斜率写直线方程。

分段函数在分界点a处，需要比较左右两段的函数值和差商。连续要求两侧极限都等于f(a)；可导还要求左右差商趋于同一个有限数。各段内部可按各自公式求导，分界点需单独计算。

第一步找f(a)，看等号属于哪一段。第二步计算左右函数极限，确认都等于f(a)；若高度不同，已经不连续，就不可能可导。第三步分别算 $\frac{f(a+h)-f(a)}h$ 在h趋0正侧与负侧的极限，只有两者相等且有限才可导。

不能仅比较左右两段“导函数公式”的数值。例如左侧f=x，右侧连同0取f=x+1，两段斜率都是1，但高度跳了1，0处仍不可导。用差商时两侧都减同一个实际f(a)，才能把这个跳跃检查出来。

求切线是另一个任务：先确定点 $(a,f(a))$，再用斜率f'(a)写 $y-f(a)=f'(a)(x-a)$。只知道斜率不能唯一确定一条线，还缺它经过哪里。

法线经过同一点且与切线垂直。若切线斜率m≠0，法线斜率是 $-\frac1m$；若m=0，切线水平、法线竖直，写x=a。不能把“法线没有有限斜率”误说成“没有法线”。

两条方向向量(1,m)、(1,n)垂直时内积1+mn=0，所以n=-$\frac1m$。若m=0，法线方向(0,1)，它不能用有限斜率表示。

先独立作答；卡住时看提示，完成后再对照解析。